Antología Números racionales e irracionales
Enviado por José Villa • 6 de Septiembre de 2018 • Trabajo • 32.495 Palabras (130 Páginas) • 147 Visitas
¿Qué es un sistema matemático?
Frecuentemente se identifica a la matemática como la ciencia en la que hay que trabajar con números, olvidando que en ella tiene cabida una infinidad de otros “objetos”, como son: puntos, figuras geométricas, vectores, conjuntos, preposiciones lógicas, matrices, . . . A cada una de esas clases de objetos se destina alguna rama de las matemáticas para su estudio. Así, la Geometría estudiará a las figuras, la Aritmética a los números, el Álgebra Lineal a las matrices y la Lógica a las proposiciones.
En este volumen nos proponemos realizar un estudio de los números con que aparece una diversidad de clases que podemos agruparlos:
Naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, . . .
Fraccionarios: ½, 1/3, 2/3, ¼, ¾, . . .
Irracionales: π, log 2, etcétera
El estudiante aprende desde la primaria, que cada una de esas categorías de números tiene reglas, algoritmos y propiedades que le son características, y que no pueden usarse al manejar los números de otra clase diferente; así, el lograr el aprendizaje de la adición de números naturales no implica que se esté en capacidad de realizar adiciones con números fraccionarios, los cuales se manejan con reglas diferentes, propias de estos números, y que hay que aprender nuevamente.
De ahí la necesidad de clasificar, a su vez, a los números, según la serie de conceptos, relaciones operaciones que se deseen manejar.
Por otra parte, los números tienen que ser sometidos a operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, etc. Los números se combinan para dar lugar a un resultado, de acuerdo con la regla de operación, y es entonces cuando la Aritmética comienza a ser verdaderamente útil.[pic 1]
Nuestra definición anterior ha sido expuesta en términos más generales; las operaciones no sólo se realizan con números, sino con toda clase de objetos; así tenemos, como ejemplos de operaciones no numéricas:
La unión e intersección de conjuntos
La implicación lógica (de proposiciones).
La composición de funciones, etcétera.
Al estudiar una operación con todos los procesos que implica, es preciso establecer con claridad, a qué conjunto de objetos es aplicable esa operación. Estrictamente hablando, no puede decirse que haya una operación a la que pueda llamársele “suma”. En efecto, la palabra “suma” se usa en matemáticas para designar una enorme multitud de reglas de combinación, variables; según los objetos a que ella se refiera tenemos:
- Suma de números naturales
- Suma de números enteros
- Suma de números racionales
- Suma de números reales
- Suma de números complejos
- Suma de vectores
- suma de matrices
- Suma lógica
- Suma de racionales
- Suma de polinomios, etcétera.
Al reparar nuestros reconocimientos sobre la materia, encontraremos que cada tipo de suma es diferente. Seguramente te encontrarás con que algunas de las “sumas” puedes hacerlas puesto que ha sido estudiadas en primaria y en secundaria, y otras no. Te encontrarás también con que algunas de las sumas te son relativamente fáciles, en tanto que otras ya no lo son tanto. Y te encontrarás por último, con que las “sumas” no siempre dan el mismo resultado. Por ejemplo:
Suma de números naturales: 1 + 1 = 2
Suma lógica 1 + 1 = 1
Esto, que sin duda te causará extrañeza, se debe a que la palabra “suma”, así como un símbolo algebraico “+”, realmente tiene significados totalmente diferentes; en la primera suma, se está trabajando con números naturales; en la segunda, con valores de verdad.
[pic 2]
Por todo lo anteriormente dicho, se comprende que al estudiar una operación es preciso definir con qué objetos matemáticos vamos a trabajar. Al conjunto de objetos que son motivo de la operación se le da el nombre de dominio.
[pic 3]
Ahora bien un sistema matemático es el concepto que conjuga un dominio con una o varias operaciones: así la “adición de números naturales” es un sistema matemático.
La operación es: adición
El dominio es: N (el conjunto de números naturales)
Ese sistema se designará así: (N, +).
La multiplicación de números enteros es otro ejemplo de sistema matemático, en el que:
La operación es: multiplicación
El dominio es: Z (el conjunto de los enteros)
Y el sistema designado se representará así: (Z, x).
En el presente tomo nos interesarán particularmente, los sistemas numéricos; es decir, aquellos en los que el dominio es un conjunto de números desentendiéndonos por ahora de operaciones con conjuntos, vectores, proposiciones, etc. Y mas aún los conjuntos de números con los que integraremos sistemas son:
El conjunto N de los números naturales
El conjunto Z de los números enteros
El conjunto Q de los números racionales
El conjunto R de los números reales
El conjunto C de los complejos.
Dentro del marco de esos conjuntos de números, estudiaremos las operaciones, puesto que todo otro conjunto de números que se adopte como dominio dará lugar a un sistema cuyas peculiaridades son fácilmente deducibles de las de estos sistemas básicos.
Hasta el momento, hemos manejado la palabra “número” como si ya se hubiese definido y no tuviésemos dificultades para comprender lo que esa palabra significa. Sin embargo, al tratar de explicar tal significado nos encontramos con que la tarea no es tan fácil como parece. El dar un significado rigurosamente lógico a ese concepto ha sido una de las más laboriosas tareas del matemático, por lo que no podemos intentarlo aún. Gradualmente iremos integrando el contenido yacente en esa idea, hasta lograr tener una imagen panorámica de ella.
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