Numeros Raciones E Irracionales

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo,1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.

Índice [ocultar]

1 Construcción formal

2 Aritmética de los números racionales

2.1 Definición de suma y multiplicación

2.2 Relaciones de equivalencia y orden

2.3 Existencia de neutros e inversos

2.4 Equivalencias notables

2.5 Propiedades

3 Escritura decimal

3.1 Representación racional de los números decimales

3.2 Desarrollo decimal de los números racionales

3.3 Número racional en otras bases

4 Propiedades topológicas de los números racionales

5 Propiedades algebraicas

5.1 Número p-ádico

6 Véase también

7 Referencias

8 Bibliografía

9 Enlaces externos

Construcción formal[editar]

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

[Expandir]Demostración

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

\begin{matrix}

\mathbb{Q} \subset \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\

\mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) =

\left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\}

\end{matrix}

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}

Aritmética de los números racionales[editar]

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Definición de suma y multiplicación[editar]

Se define la suma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Relaciones de equivalencia y orden[editar]

Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando ad = bc \,

Los racionales positivos son todos los \frac{a}{b} tales que ab > 0 \,

Los racionales negativos son todos los \frac{a}{b} tales que ab < 0 \,

El orden se define así: Si b>0 y d>0 entonces \frac{a}{b}>\frac{c}{d} cuando ad - bc > 0

Existencia de neutros e inversos[editar]

Para cualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{0}{1} es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.

Para cualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{1}{1} es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.

Cada número racional: \frac{a}{b} tiene un inverso aditivo \frac{-a}{b} tal que \frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0

Cada número racional: \frac{a}{b} con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo \frac{b}{a} tal que \frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1

Equivalencias notables[editar]

Todo número entero p \, se puede escribir como fracción \frac{p}{1}

\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} con c\neq 0 y b\neq 0

\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}

\frac{0}{a}=0 con a\neq 0

\frac{a}{a}=1 con a\neq 0 .

Propiedades[editar]

El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

La clausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y \Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable

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