Lógica

LOGICA

INTRODUCCIÓN

Esta sección lógica, es presentada teniendo en cuenta su importancia en lo que respecta al razonamiento ordenado que es fundamental en los cursos de Matemáticas (en todos los niveles educativos ) y en la comprensión sistémica de asignaturas afines y de formación profesional. En la actualidad, el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las humanidades como en el de las ciencias y la técnica requiere conocer los fundamentos y métodos del Razonamiento lógico preciso, que permita al estudiante o profesional extraer y depurar sus conclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es aún más evidente en esta era globalizante de la Computación e Informática, ya que son utilizadas en todos los campos del desarrollo de una sociedad, y que por la velocidad a la cual se procesan los datos cualquier error de LÓGICA puede originar problemas académicos, técnicos y por lo tanto sociales y económicos.

NOCIÓN DE LÓGICA

Dentro de una clasificación generalísima de la Ciencia, la Lógica es una ciencia formal, una ciencia de estructuras, cuyo objeto no es la verdad, sino la validez de dichas estructuras.

El tema central de la Lógica es el análisis formal de las inferencias, esto es, establecer si la conclusión se deriva lógicamente de las premisas. En conclusión, la tarea de la lógica es estudiar la validez o invalidez de las estructuras lógicas denominadas indistintamente: inferencias, argumentos o razonamientos lógicos.

OBJETO DE LA LOGICA

El estudio de la Lógica tiene por objeto:

1.- Familiarizar al estudiante con las técnicas de orden lógico a fin de conducirlo a un hábil manejo del lenguaje matemático.

2.- Emplear métodos eficaces de razonamiento.

INFERENCIA LOGICA

Es un conjunto de proposiciones en donde una de ellas denominada CONCLUSION se deriva de otra u otras llamadas premisas.

Como vemos, el elemento fundamental de las inferencias son las proposiciones lógicas, por ello empezaremos definiéndolas.

LÓGICA DE PROPOSICIONES

La lógica proposicional, es una parte de la Lógica, que tiene por objeto de estudio las proposiciones y la relación entre ellas, así como las variables proposicionales, los conectivos lógicos y las estructuras lógicas en general.

PROPOSICIONES LÓGICAS

Las proposiciones son oraciones de las que tiene sentido decir que son verdaderas o falsas.

Por ejemplo:

“Lima es la capital del Ecuador” es una proposición falsa.

¿Cómo te llamas? No es una proposición

¡Qué tal! Tampoco es una proposición lógica.

“x” es hermano de José Es un enunciado del que no tiene sentido decir que es verdadero o falso, consecuentemente no es una proposición.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, t, etc., a las que se denominan “variables proposicionales”.

Cuando son muchas proposiciones, se emplean entonces, subíndices para indicar cada una de ellas, tales como: p1, p2, p3, p4,....., Pn.

Si una proposición “p” es verdadera, se dirá que su valor de verdad es “V”, y se escribirá:

V (p) = V (que se lee: “valor de verdad de p igual a V”).

Si una proposición p es falsa, se dirá que su valor de verdad es “F”, y se escribirá:

V (p) = F (que se lee: “valor de verdad de p igual a F”).

Ejemplos:

PROPOSICIÓN

VALOR DE VERDAD

p : 4 + 6 < 20 - 6 V(p) = V

q : 6 multiplicado por 8 = 48 V(q) = V

r : el número 121 es divisible por 11 V(r) = V

s : “Cinco es menor que tres” V(s) = F

t : Todos los hombres no son mortales V(t) = F

ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que no tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos. Así, tenemos el enunciado 2x - 5 < 13, no se le puede atribuir el valor (V) o el valor (F) a menos que reemplacemos a la “x” por un número mayor que 9 en este enunciado, se convierte en una proposición falsa. Si lo reemplazamos por un número menor que 9, el enunciado resulta verdadero.

Ejemplos:

1. m + n + p = 9

2. n es menor que 5

TIPOS DE PROPOSICIONES

Las proposiciones lógicas atendiendo a su estructura externa, se agrupan en dos grandes bloques:

Proposiciones S i m p l e s y proposiciones C o m p u e s t a s.

- Las proposiciones simples llamadas también: atómicas o elementales, monádicas o monarias, son aquellas de una sola expresión o un solo enunciado que tienen un solo sujeto o un solo predicado.

Ejemplos:

1. El aula está abierta

2. Juan está enfermo

- Las proposiciones compuestas llamadas también moleculares o coligativas, se refieren a combinaciones de 2 ó más enunciados

Ejemplos:

1. Juan es Abogado o Profesor.

2. Antonia será voleybolista, sí y sólo si tiene cualidades.

3. José no es contador.

En el ejemplo 1 tenemos 2 proposiciones enlazadas por “o”, que también podríamos reemplazar por “y”; en el 2 sí sólo si, en el 3 la proposición está negada por “no” que la hace compuesta.

A los enlaces “y”, “o”, “no” se les llama conectivos lógicos.

CONECTIVOS LÓGICOS.-

Los conectivos lógicos o términos de enlace son símbolos lógicos que enlazan proposiciones atómicas, sin formar parte de ellas.

Los conectivos lógicos más usuales son:

 La conjunción : 

 La disyunción inclusiva : 

 La condicional :

 La bicondicional :

 La negación : 

 La disyunción exclusiva : 

 La negación alterna : 

 La negación conjunta : 

OPERACIONES PROPOSICONALES

NEGACIÓN

DEFINICIÓN: Para toda proposición p, “llamaremos no p” ó “negación de p” a la proposición que se obtiene anteponiendo a “p” la palabra “no” y la designaremos  p (que se lee: “no p”).

La definición del valor de verdad de la negación se esquematiza en un cuadro llamado Tabla de Verdad de la Negación:

p  p

V F

F V

LA CONJUNCIÓN

DEFINICIÓN: Sean p y q, dos proposiciones llamaremos “conjunción de p y q” a la proposición

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