Metodo Simplex

Considerar un problema de programación lineal,

maximizar z=\mathbf{c}^T \mathbf{x}

sujeto a \mathbf{A}\mathbf{x} \le \mathbf{b}, \, \mathbf{x} \ge 0

El algoritmo símplex requiere que el problema de programación lineal esté en la forma aumentada de la programación lineal. El problema puede ser escrito como sigue, en forma de matriz:

Maximizar z en:

\begin{bmatrix}

1 & -\mathbf{c}^T & 0 \\

0 & \mathbf{A} & \mathbf{I}

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

z \\ \mathbf{x} \\ \mathbf{x}_s

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

0 \\ \mathbf{b}

\end{bmatrix}

\mathbf{x}, \, \mathbf{x}_s \ge 0

donde x son las variables desde la forma estándar, xs son las variables de holgura introducidas en el proceso de aumentación, c contiene los coeficientes de optimización, describe el sistema de ecuaciones contraídas, y Z es la variable a ser maximizada.

El sistema es típicamente no determinado, desde que el número de variables excede el número de ecuaciones. La diferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema. Cualquier solución, óptima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario. El algoritmo símplex usa cero como valor arbitrario, y el número de variables con valor cero es igual a los grados de libertad.

Valores diferentes de cero son llamados variables básicas, y valores de cero son llamadas variables no básicas en el algoritmo símplex.

Esta forma simplifica encontrar la solución factible básica inicial, dado que todas las variables de la forma estándar pueden ser elegidas para ser no básicas (cero), mientras que todas las nuevas variables introducidas en la forma aumentada, son básicas (diferentes de cero), dado que su valor puede ser calculado trivialmente (\mathbf{x}_{s\,i} = \mathbf{b}_{j} para ellas, dado que la matriz problema aumentada en diagonal es su lado derecho)

En cada una de las desigualdades que se plantean en el modelo matemático de programación lineal, se plantean desigualdades de <, >, ≤, ≥ o =; estas desigualdades se convierten en igualdades completando con variables de holgura si se trata de menor o igual que, o menor que; en el caso de que sea mayor o igual que o mayor que, se completa con variables de excedente, estas con signo negativo ya que como su nombre lo indica, es una cantidad que esta de excedente y hay que quitar para convertirla en igualdad; en caso se maneje el =, se manejan las variables artificiales.

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