Operaciones Con Conjuntos

Introducción

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.

Operaciones Entre Conjuntos

Las operaciones entre conjuntos son las disposiciones específicas de combinar conjuntos para formar otros, de semejante estructura. Dichas operaciones son:

La Unión

La Intersección

La Diferencia

La Complementación

La Diferencia Simétrica

El Conjunto Producto O Conjunto Cartesiano

1. UNIÓN O REUNIÓN

Unión o reunión de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A", a "B" o a ambos, se simboliza por: A(B; y se lee: "A unión B"

Por comprensión:

Es decir: A∪B={x|x ∈A ⋁▒〖x ∈B}〗

x ∈A∪B⟷x ∈A ⋁▒〖x ∈B〗

Gráficamente, la unión de conjuntos se representa, en un diagrama de Venn-Euler, sombreando la zona donde se encuentran los diversos elementos que pertenecen a los conjuntos que van a formar la unión o reunión.

Ejemplo:

Sean los conjuntos A= {a, b, c, d} y el conjunto B= {d, e, f}; el Universo de letras del Alfabeto. Hallar A ∪B

RESOLUCION:

Como los elementos de A y B pueden pertenecer solo a "A", ó solo a "B" o simultáneamente a ambos, entonces:

A ∪B={a,b,c,d,e,f}

Su representación gráfica en el diagrama de Venn-Euler es toda la superficie a rayas.

PRO PIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

A= {a, b, c}

B= {a, b, c, d, e}

C= {a, m}

Se cumple:

2. INTERSECCIÓN

Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A" y a "B". Está formado por elementos comunes a los conjuntos que forman la intersección.

Se simboliza por AB y se lee: A intersección B.

Por comprension:

A∩B={x|x ∈A ⋀▒〖x ∈〗 B}

Es decir:

x ∈(A∩B)⇔{x∈A ⋀▒〖x∈B}〗

Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

3. DIFERENCIA

Diferencia entre los conjuntos "A" y "B", es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A" pero no a "B", se simboliza por "A( B"

Ejemplo:

Sean los conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

y el conjunto Universal, el conjunto de Números Naturales.

Hallar: A - B

Resolución:

A -B={1,2,3,4,5,6} -{4,5,6,7,8,9}

A -B={1,2,3}

En el diagrama, la parte a rayas, representa: "A(B"

A( B = {1, 2, 3}

4. COMPLEMENTACIÓN

El complemento de un conjunto A es el conjunto de

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