Operaciones lógicas entre conjuntos

Conjuntos

En esta lección exploraremos el concepto de conjunto, como un concepto que nos permitirá apropiar mejor los conceptos de proposición y conectivo lógico. El concepto de conjunto corresponde a una idea que de hecho manejas sin saberlo.

Continuamente, estás reconociendo conjuntos en tu entorno, agrupando y haciendo operaciones entre ellos, básicamente, la idea que tenemos de conjunto nos lleva a definirlo como una colección de objetos.

Una idea intuitiva de conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, es decir que un conjunto es una colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común y a su vez, estos objetos, reciben el nombre de elementos del conjunto.Esta idea intuitiva de conjunto nos conduce a la definición del matemático alemán Georg Cantor, inventor de la teoría que hoy estudiamos, y hombre atormentado por ideas no concebibles por la mente humana, como el infinito absoluto y Dios.

"Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente." Georg Cantor

¿Que implica que un conjunto este bien definido?

Por ejemplo, si deseamos hacer un conjunto de sinfonías hermosas, nos encontramos con un conjunto que no está bien definido, ya que hasta una misma persona, a medida que madura en su apreciación musical, podría cambiar con el tiempo su idea de belleza sobre una sinfonía específica y cambiarla de conjunto.

Por el contrario, el conjunto de Sinfonías de Dvorak está bien definido.

¿Qué características deben cumplir los elementos del conjunto?

Observa el siguiente conjunto de sinfonías de Dvorak:

{ Sinfonía nº 1 The Bells of Zlonice, en do menor, Sinfonía nº 2 en si b mayor,

Sinfonía nº 3 en mi b mayor, Sinfonía nº 4 en re menor, Sinfonía nº 5 en fa mayor, Sinfonía nº 5 en fa mayor, Sinfonía nº 6 en re mayor, Sinfonía nº 7 en re menor, Sinfonía nº 8 en sol mayor, Sinfonía nº 9, del Nuevo Mundo en mi menor. }

Si observaste con atención el conjunto, habrás encontrado un elemento repetido, ahora bien, los elementos de un conjunto se caracterizan por tener carácter individual, esto es, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos.

Operaciones entre conjuntos

De las operaciones entre conjuntos, también podemos descubrir una interesante relación con la realidad que nos permitirá reconocer que efectivamente de manera cotidiana hacemos operaciones entre conjuntos:

Por ejemplo la operación de unión:

La unión entre dos o más conjuntos puede ser definida, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos, es decir que el nuevo conjunto contiene todos los elementos de A y todos los elementos de B.

¿Donde se encuentra ejemplificada esta operación en el mundo real?

Hagamos un conjunto con los elementos que hacen parte del teclado de tu computador, encontrarás que podemos definir el conjunto A como el conjunto formado por las teclas del alfabeto, y el conjunto B como el conjunto formado por las teclas que representan números. Estos conjuntos también son conocidos como teclado alfabético y teclado numérico.

Unión:

Al responder a la instrucción: Señala las teclas que corresponden a letras o números, tendrás que indicar tanto los elementos de A como los elementos de B, y en este caso habrás realizado la operación de unión entre conjuntos.

Intersección:

Al responder a la instrucción: "Señala las teclas que corresponden a letras y a números", tendrás que indicar aquellas teclas que cumplen con las dos funciones, encontrando un conjunto vacío en un PC de escritorio y un conjunto no vacío en un portátil. En este caso habrás realizado la operación de intersección entre los conjuntos A y B.

Diferencia:

De igual forma, la operación de diferencia, entre los conjuntos A y B (A-B) representa los elementos de A que no están en B.

Diferencia simétrica:

Finalmente, una operación como la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B puede ser definida como el conjunto de los elementos que están en A y en B pero no en ambos.

Proposiciones

En la lección de conectivos lógicos, también desarrollamos conceptos ampliamente usados por todos en el lenguaje cotidiano, veamos como reconocer en el lenguaje cotidiano las proposiciones lógicas:

¿Recuerdas el concepto de proposición?

Ésta es una oración o enunciado que puede ser falso o verdadero pero no las dos cosas.

Por ejemplo:

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