LÓGICA Y CONJUNTOS

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Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen

una mentalidad lógica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir

razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas.

Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lógica aristotélica, donde

todo argumento debe ser o verdadero o falso, no existe una tercera posibilidad.

Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede

resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos.

La frase: “Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa”, sugiere que la palabra

sobre tiene tres diferentes significados en la misma oración. Por ello, se necesita

de un lenguaje que sea más preciso: la lógica simbólica. Su propósito consiste

en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el

análisis de argumentos lógicos complicados.

La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite

reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona

las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones

irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemáticas son las

definiciones, éstas en general no responden a la pregunta ¿qué es?, sino a la

pregunta ¿qué características tiene?

Además, las definiciones tienen una parte conceptual

(¿qué significa?) y una parte operativa (¿cómo se trabaja?).

Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento,

cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica

clásica. En 1666, deseaba crear un método general en el

cual todas las verdades de la razón serían reducidas a

una especie de cálculos, llamando a la lógica simbólica

“característica universal”.

El sueño de Leibniz no se realizó hasta que Boole separó

los símbolos presentes en las operaciones matemáticas,

de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció

un sistema factible y sencillo de lógica simbólica.

Capítulo 1

Lógica y Conjuntos

Introducción

Gottfried Leibniz,

matemático alemán

(1646-1716)

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En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra “An

Investigation of the Laws of Thought” (Investigación

de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente,

este trabajo no recibió buena aceptación, y no

fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell

(1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947)

utilizaron la lógica simbólica en su obra “Principia

Mathematica” (1902), que el mundo de la matemática

dio importancia a las ideas propuestas inicialmente

por Leibniz alrededor de 250 años antes.

El álgebra booleana constituye un área de

las matemáticas que ha pasado a ocupar un

lugar prominente con el advenimiento de la

computadora digital. Es usada ampliamente

en el diseño de circuitos de distribución y

computadoras; y, sus aplicaciones van en

aumento en muchas otras áreas.

En el nivel de lógica digital de una computadora, el hardware trabaja con

diferencias de voltaje, las cuales generan funciones que son calculadas por

los circuitos que forman el nivel.

En este capítulo se tratará de responder a la pregunta ¿cómo podemos

llegar a ser más lógicos? Se pretende aplicar la lógica no solamente en el

estudio de las ciencias, sino también en la vida cotidiana. Es necesario poder

comunicarse de manera inteligente con los demás; se requiere adquirir

capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores;

necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las aseveraciones

de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lógica es una parte

importante del mundo que nos rodea y en este capítulo sentaremos las bases

que nos ayudarán a ser definitivamente más lógicos.

1.1 Proposiciones

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

* Dadas varias oraciones, identificar cuáles son proposiciones y cuáles

no, justificando adecuadamente su respuesta.

* Identificar oraciones que representan proposiciones.

George Boole,

matemático inglés

(1815-1864)

Señales de voltaje digitales

que alimentan el hardware

del computador.

1 0 1 0 v

t

Capítulo 1

Lógica y Conjuntos

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Definición 1.1 (Proposición)

Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o

sólo es falsa.

La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas.

Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos.

Todo debe definirse de tal forma que no dé lugar a dudas o imprecisiones

en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto, y las

definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo,

en el lenguaje ordinario, un enunciado u oración se puede definir como

“una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita

o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que

normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra

mayúscula y termina con un punto”.

Sin embargo, en lógica simbólica una oración tiene un significado mucho

más específico y se llama proposición.

Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las

oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al

mismo tiempo, o las que demuestran algún tipo de imprecisión (carecen de

sentido), no son objeto de estudio de la lógica.

Ejemplo 1.1 Oraciones que son proposiciones.

5 es un número primo.

− 17 + 38 = 21.

Todos los números enteros son positivos.

Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son

verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con

precisión y sin ambigüedades o subjetivismo.

Usualmente, las primeras letras del alfabeto español en minúscula se usan

para representar proposiciones.

Ejemplo 1.2 Representación simbólica de proposiciones.

5 es un número primo puede ser representada por la letra a, de la forma:

...