Teoría De Conjuntos Y lógica De Proposiciones

Teoría de conjuntos y Lógica de proposiciones

Teoría de conjuntos.-

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.

Ejemplos de conjuntos:

 Æ: el conjunto vacío, que carece de elementos.

 N: el conjunto de los números naturales.

 Z: el conjunto de los números enteros.

 Q: el conjunto de los números racionales.

 R: el conjunto de los números reales.

 C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

Por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

Por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

A:= {1, 2,3,..., n}

B:= {pÎ Z | p es par}.

Lógica Proposicional.-

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.

Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

p p'

1 0

0 1

Relación entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional

Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características

(es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:

conjuntos A  B A = B A  B A  B A' A  B A  B

proposiciones a Þ b a Û b a Ú b a Ù b a' a Ù b' a Ú b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología.

Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa: a modo de ejemplo:

A È ( A Ç B ) = A a Ú ( b Ù c ) Û a

A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )

( A È B )' = A' Ç B' ( a Ú b )' Û a' Ù b'

Proposiciones con cuantificadores

Los símbolos “(cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial)” se utilizan en Matemáticas para enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos.

Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x.

(1) Cuantificador universal: La expresión

" x Î A Þ p(x)

se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición

{ x Î A : p(x) } = A

(2) Cuantificador existencial : La expresión

$ x Î A | p(x)

se

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