Operaciones Entre Conjuntos

2.- Concepto de numero.- Del latín numĕrus, el término número se refiere a la expresión de una cantidad con relación a su unidad. Se trata, por lo tanto, de un signo o un conjunto de signos.

Clasificacion de los Numeros.- Los números se clasifican de la siguiente manera:

N - NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar elementos o cosas

Z - NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).

Q - NÚMEROS RACIONALES

número racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros. Comunmente es a lo que se les llama numeros decimales, tanto en fracción como expresado con comas.

Cualquier numero puede representarse como una fracción de denominador 1 (ejem. 4/1) o como numero decimal (ejem. 4,0), por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS SON RACIONALES.

I - NÚMEROS IRRACIONALES

LOS NÚMEROS IRRACIONALES no pueden representarse en forma fraccionaria.Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. El más conocido es:

(Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

R - NÚMEROS REALES

Como su propio nombre indica, son todos los números, RACIONALES E IRRACIONALES

3.-. PROPIEDADES DE OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A

Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

o  ' = U .

o U ' = .

o (A')' = A .

o A  B  B'  A' .

o Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'.

En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia A  A = A A  A = A

2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A

3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C

4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A

5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )

6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 

1. COMPLEMENTACIÓN

Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos los elementos del universal que no son de A.-

Simbólicamente:

AC = {x  U/x  A}

Decir que:

x  AC  x  A

Propiedades de la Complementación

Involución

El complemento del complemento de un conjunto, es igual al mismo conjunto

H) Sea el conjunto A

T) (AC)C = A

D) Partiendo de la definición de inclusión, otras formas de negar e involución en la lógica, se tiene

x (AC)C  x AC  (x AC)  (x A)  [(x A)]  x A

Pero con esta demostración no se demostró la igualdad, entonces:

x (AC)C  x A  [(x (AC)C  x A)]  [x A  x (AC)C] 

 (AC)C  A  A  (AC)C  (AC)C = A

Esto es aplicando la equivalencia entre la doble implicación y la implicación y la definición de igualdad.

2. LA INTERSECCIÓN

Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre los conjuntos A y B al conjunto AB formado por los elementos comunes. Lógicamente, hablar de elementos comunes, es hablar de elementos que pertenecen a uno y al otro conjunto.-

O sea que:

A  B = {xU/xA  xB}

Ahora, decir que:

x AB  xA  xB

Propiedades y elementos distinguidos de la intersección

Idempotencia

La intersección de un conjunto, es igual al mismo conjunto

H) Sea el conjunto A

T) A  A = A

D) Aplicando la definición de intersección, la idempotencia de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene:

x A  A  xA  xA  xA

 A  A = A

Asociatividad

La intersección es asociativa

H) Sean los conjuntos A, B y C

T) A (B  C) = (A  B) C

D) Aplicando la definición de intersección, la asociatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene:

x A (B  C)  xA  x (B  C)  xA  (xB  xC) 

 (xA  xB)  xC  x(A  B)  xC  x(A  B) C

 A (B  C) = (A  B) C

La conmutatividad

La intersección es conmutativa

H) Sean los conjuntos A y B

T) A  B = B  A

D) Aplicando la definición de intersección, la conmutatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene:

x A  B  xA  xB  xB  xA  x B  A

 A  B = B  A

Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.

Elemento neutro

El elemento neutro de la intersección es el conjunto universal

H) Sea el conjunto A

T) A  U = U  A = A

D) Dado que el conjunto AU  A  U = U  A = A

Elemento absorbente

El elemento absorbente es el

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