PRONOSTICOS ANALISIS DE REGRESION LINEAL SIMPLE

PRONOSTICOS

ANALISIS DE REGRESION LINEAL SIMPLE

ANALISIS DE REGRESIÓN

INTRODUCCION

El propósito de este capítulo radica en proporcionar los conceptos y metodología básica para extraer de grandes cantidades de datos las características principales de una relación que no es evidente, de tal forma que permitan ajustar una ecuación, con el propósito de hacer predicciones razonablemente precisas, por ejemplo:

DIAGRAMA DE DISPERSION

Recibe este nombre la gráfica en la cual se traza cada uno de los puntos que representan un par de valores para la variable dependiente e independiente. Lógicamente el valor de la variable dependiente se traza con respecto al eje vertical y el valor de la variable independiente con respecto al eje horizontal. Después de trazar todos los valores en el gráfico y estos indican, en términos generales una relación lineal, entonces se ajusta a una línea recta a dichos datos.

EJEMPLO 1. La figura 5-1 presenta información de una muestra de 15 consumidores de la Ciudad de Torreón y el ingreso personal de los mismos.

Fig. 5-1

2.1.4 ESTIMACION POR MINIMOS CUADRADOS PARA EL MODELO LINEAL SIMPLE

Este método encuentra las estimaciones para los parámetros en la ecuación mediante la minimización de la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados. El modelo lineal que representa la regresión lineal simple es:

(2.1)

En donde:

Yestimada = Valor de la variable dependiente.

b = Indica el valor en que se intersecta la línea con el eje y, esto se da cuando x=0.

m = Indica la pendiente de la línea de regresión.

x = Valor especificado de la variable independiente.

ei = Error aleatorio de muestreo en la i-ésima observación.

Las fórmulas de cálculo para determinar los valores de m y b de la ecuación de regresión lineal que satisface al modelo son:

(2.3)

(2.4)

Al obtenerse la ecuación de regresión, ésta podrá utilizarse para estimar el valor de la variable dependiente para un valor determinado de la variable independiente siempre y cuando:

a) Las estimaciones se hagan sólo en el rango de valores dentro de los que se muestreó originalmente la variable independiente.

b) Se determine si la relación que expresa la ecuación es real o pudiera haber ocurrido en los datos muestrales debido simplemente al azar.

2.2 ANALISIS DE CORRELACION

El análisis de correlación mide el grado de relación entre una variable independiente y la variable dependiente.

Este análisis se basa en los siguientes supuestos:

1. La relación entre las 2 variables es lineal.

2. Ambas variables son aleatorias.

3. Para cada una de las variables, las varianzas condicionales para diferentes valores de la otra variable son iguales.

4. Para cada variable las distribuciones condicionales, dados diferentes valores de la otra variable, son todas ellas distribuciones variables.

2.2.1 COEFICIENTE DE DETERMINACION. (r2)

Es una cantidad numérica muy útil utilizada como medida relativa del grado de asociación lineal entre x y y, es decir, si uno de los supuestos radica en que las varianzas condicionales para ambas variables son iguales entonces entre más se acerque esta relación a dicho supuesto, r2 será igual a la unidad.

2.2.2 COEFICIENTE DE CORRELACION. (r)

Se define como una medida de la asociación lineal que existe entre las variables aleatorias X y Y. Y es apropiado para pruebas estadísticas, porque puede utilizarse para definir una estadística de prueba que tiene distribución t cuando la correlación en la población  es igual a 0. El valor del coeficiente puede variar de -1.00 a +1.00. El signo, indica la dirección de la relación entre X y Y donde: si es positivo será una relación directa, si es negativo será una relación inversa.

El coeficiente de correlación poblacional es:

(2.18)

El coeficiente de correlación muestral es.

(2.19)

En ambos casos el signo será el de la pendiente b1.

r = 1 ; r2 = 1

r = -1 ; r2 = 1

r = 0.6 ; r2 = 0.36

r = -0.90 ; r2 = 0.81

Fig. 5-2 Gráficos de dispersión para diversos valores de r

r = 0 ; r2 = 0

Fig. 5-3. Gráfica de dispersión para r = 0

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

2.1 Un grupo de alumnos de la Licenciatura de Mercadotecnia de la Universidad llevó a cabo una investigación sobre la demanda de cierto producto y su cambio debido a una variación rápida de su precio por unidad. La muestra obtenida fue la siguiente:

Tabla 2.1 Observaciones muestrales entre la demanda y el precio unitario.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Demanda

(unidades)

360

305

230

242

180

172

121

83

70

65

Precio

Unitario

$

8.8

9.7

9.9

10.3

11.0

12.5

13.2

14.8

14.8

17.4

a) Construya la gráfica de dispersión para los datos de la tabla 2.1 y determine en base a su relación si un análisis de regresión lineal es apropiado para predecir la demanda de un artículo en base a su precio unitario.

Fig. 5-4

En términos generales los puntos trazados siguen una relación lineal, por lo cual se supone que un análisis de regresión es apropiado.

b) Determine la ecuación de regresión por mínimos cuadrados y trace la línea de regresión para estos datos.

Sabemos que

Ecuación de regresión:

Por lo tanto:

Tabla 2.2. Cálculos para obtener ecuación de regresión

No. Demanda

Y Precio Unitario

X

X2

XY

Y2

1 360 8.8 77.44 3168.0 298.10 129600

2 305 9.7 94.09 2958.5 268.78 93025

3 230 9.9 98.01 2270.0 262.27 52900

4 242 10.3 106.09 2492.6 249.24 58564

5 180 11.0 121.00 1980.0 226.45 32400

6 172 12.5 156.25 2150.0 177.59 29584

7 121 13.2 174.24 1597.2 154.80 14641

8 83 14.8 219.04 1228.4 102.69 6889

9 70 15.8 249.64 1106.0 70.12 4900

10 65 17.4 302.76 1131.0 18.01 4225

Totales 1828 123.4 1598.56 20088.7 426728

...