PROPIEDAD DE LA ADICION DE VECTORES

PROPIEDAD DE LA ADICION DE VECTORES

• Asociativa: consideremos tres vectores cualesquiera a, b, c, de V2 , queremos efectuar la suma de ellos. Dicha suma la podemos determinar de dos manera;

Una Manera Otra Manera

Efectuamos a + b Efectuamos b + a

Le sumamos c a a + b Le sumamos b + c a a

Conclusión: (a + b) + c = a + (b + c)

De esta manera se observa que los vectores obtenidos son equipolentes, es decir:

(a + b) + c = a + (b + c)

Luego, podemos concluir que la adición de vectores es asociativa.

• Elemento Neutro: o vector nulo se debe a que su modulo es cero. Si el origen coincide con el extremo, la longitud del segmento orientado será igual a cero, el segmento se reduce a un punto y en realidad no puede hablarse con propiedad de un vector. En este caso la dirección y el sentido no están determinados.

El vector libre nulo será entonces la clase formada por todos los vectores que tienen modulo cero. Los elementos del vector libre nulo corresponden a puntos del plano. Al vector libre nulo, lo representamos por cero 0. ejemplo:

• Los puntos a, b, c, d, son algunos elementos del vector libre nulo.

Por todo lo dicho se deduce fácilmente que si a es un vector cualquiera de v2, entonces:

a + 0 = 0 + a = a

• Elemento Simétrico: tiene igual dirección, igual modulo, pero de sentidos contrarios. Para efectuar la adición de a y b, copiamos un vectorb' equipolente con b que tenga su origen en el extremo del vector a.

• El vector suma de a y b es el vector nulo puesto que el origen del vector coincide con el extremo de b' (o sea que el vector suma se reduce a un punto),

Luego; a + b = 0

A los vectores a y b los llamaremos “vectores opuestos”. Diremos que a es el vector opuesto a b, y que b es el vector opuesto al vector a. Para indicar el opuesto del vector a escribimos: -a.

Ejemplo: * El vector u es el opuesto del vector v, es decir: u = - v. Se cumple que: v + (- v) = 0

* El vector x es el opuesto del vector y , es decir: x = - y. Se cumple que: x + (- y) = 0

• Conmutatividad: sean a y b dos elementos de V2.

Vamos a determinar los vectores: a + b = b + a

1) 2)

Podemos verificar que los vectores obtenidos a + b y b + a son equipolentes, luego:

a + b = b + a

Como esto lo hemos hecho para dos vectores arbitrarios de V2, podemos generalizar diciendo que la adición de vectores en V2 es “conmutativa”.

Luego, como (V2, +) es un grupo y la adición es conmutativa, podemos afirmar que,

(V2, +) es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

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