Vectores, operaciones y propiedades

Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.

El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores.

En este tema, estudiaremos los vectores en , las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

A partir de la representación de , como una recta numérica, los elementos se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a y cada se asocia con un punto de coordenada en la recta horizontal (eje ) y la coordenada en la recta vertical (eje ).

Figura 1. Punto (a,b)

Análogamente, los elementos se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).

DEFINICIÓN: Es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen: Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo: Es la longitud o tamaño del vector.

Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

Tipos De vectores

VECTORES COLINEALES

DOS O MAS VECTORES SE ENCUENTRAN EN LA MISMA DIRECCIÓN O LINEA DE ACCIÓN

SERA POSITIVO SI SU SENTIDO ES HACIA LA DERECHA O HACIA ARRIBA, Y NEGATIVO SI SU SENTIDO ES HACIA LA IZQUIERDA O HACIA ABAJO.

VECTORES CONCURRENTES

Cuando la línea de acción de los vectores se cruzan en algún punto.

Se les llama angulares o concurrentes, porque forman un ángulo entre ellos.

C.- VECTORES COPLANARES

Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano

Son coplanares

D.- VECTORES IGUALES.-

Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido

Son Iguales

E.- VECTORES OPUESTOS.-

Se llama vector opuesto (- A ) de un vector A

Cuando tienen el mismo modulo, la misma dirección, pero el sentido contrario

F.- VECTORES EQUIVALENTES.-

Dos o mas vectores son equivalentes en un cierto aspecto, si cada uno de ellos produce exactamente el mismo efecto en este aspecto

Hay que tener en cuenta que los Vectores iguales no necesariamente son equivalentes, eso depende enteramente de la situación en que esta

VECTOR EN EL PLANO

En principio, podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma podemos, en un vector, distinguir cuatro partes fundamentales: punto de aplicación, intensidad, dirección y sentido. Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres últimos elementos, intensidad, dirección o sentido, los consideraremos distintos, mientras que si sólo se diferencian en el punto de aplicación los consideraremos iguales.

El punto de aplicación es el punto de origen del segmento: su comienzo, a partir de él empieza el vector. Cuando se refiere a una magnitud medida, el punto de aplicación estará situado en el objeto sobre el que se realiza la medida y se moverá con él. Si medimos la velocidad de un coche, el vector que representa dicha velocidad tendrá su punto de aplicación en el vehículo.

VECTOR EN EL ESPACIO

Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan las herramientas necesarias para la geometría tridimensional.

objetivos

Operar con vectores en el espacio de forma gráfica

Distinguir cuándo un conjunto de vectores de linealmente dependiente o independiente

Deducir la combinación lineal de un vector en función de otros de forma geométrica

Aprender el concepto de coordenadas de un vector respecto a una base

Saber operar con las coordenadas de los vectores

Calcular el producto escalar, vectorial y mixto y entender sus interpretaciones geométricas.

Suma y resta de vectores

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar

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