Operaciones con vectores y sus propiedades

1.14 Operaciones con vectores y sus propiedades

Un vector es un segmento orientado. Un vector (AB) ⃗ queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

El producto de un número k por un vector

v ⃗ ̅ es otro vector kv que tiene:

• Módulo: igual al producto del módulo de

|k|.| v ⃗ |

v ⃗ por el valor absoluto de k : | (kv) ⃗ | =

• Dirección: la misma que la de v ⃗

• Sentido:

- El de

v ⃗ si k > 0

- El del opuesto de

v ⃗ si k < 0

El producto 0.

v ⃗ es igual al vector cero

0 ⃗ . Es un vector cuyo origen y extremo

coinciden y, por tanto, su módulo es cero y carece de dirección y de sentido.

El vector –1 v ⃗ se designa por -v ⃗ y se llama opuesto de v ⃗.

SUMA DE DOS VECTORES

Dados dos vectores

u ⃗ y v ⃗ para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades:

• Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo.

• Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.

RESTA DE DOS VECTORES

Restar dos vectores es lo mismo que sumar al primer vector el opuesto del segundo.

u ⃗ – v ⃗ =

u ⃗ + (-v ⃗ )

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Dados dos vectores,

u ⃗ y v ⃗ , y dos números a y b, el vector a u ⃗ + bv ⃗ se dice que es

una combinación lineal de u ⃗ y v ⃗.

Nota:

- Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos.

- Esta combinación lineal es única.

OPERACIONES CON COORDENADAS

SUMA DE DOS VECTORES

Las coordenadas del vector

u ⃗ + v ⃗ se obtienen sumando las coordenadas de μ con las

de v:

u ⃗ + v ⃗ = (u1,u2) + (v1,v2) = (u1 + u2, v1 + v2)

RESTA DE DOS VECTORES

Las coordenadas del vector

u ⃗ - v ⃗ se obtienen restando las coordenadas de μ con las

de v:

v = (u1, u2) - (v1,v2) = (u1 - u2, v1 - v2)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

Las coordenadas del vector k u ⃗ se obtienen multiplicando por k las coordenadas de u ⃗

k u ⃗ = k.(u1,u2) = (ku1, ku2)

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

a u ⃗ + b v ⃗ = a(u1, u2) + b(v1, v2) = (au1 + bv1, au2 + bv2)

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

DEFINICIÓN

El producto escalar de dos vectores

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