Los vectores y sus operaciones

Los vectores y sus operaciones

Definición

Un vector es un segmento de dos puntos A y B.

Los vectores están compuestos por 3 elementos

• Módulo: distancia entre a y b
• Dirección: es la dirección de la recta
• Sentido: si va de A a B o de B a A

Igualdad de vectores: Dos vectores serán iguales si poseen los mismos elementos

Notación: Deben representarse por letras señalando su origen y extremo con una flecha encima AB.

Producto de un vector por un numero

El producto de un número k por un vector v es otro vector kv que tiene:

Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k : |kv| =

|k|.| v |

Dirección: la misma que la de v

Sentido:

• El de v si k > 0
• El del opuesto de v si k < 0

Vectores

Si el producto es cero, es un vector que su origen y extremo coinciden y, por lo tanto su módulo es cero y no tiene dirección.

El vector -1 se llama opuesto de v

Suma de dos vectores

Cuando tienes dos vectores u y v para sumarlos existen dos posibilidades:

• El origen del segundo vector es el extremo del primer vector y el vector suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo.

• Lo dos vectores tienen el mismo origen y la diagonal que parte del origen de ambos vectores es el vector suma.

u+v

Resta de vectores

Restar dos vectores es lo mismo que sumar al primer vector con el opuesto del segundo

u-v= u +(-v)

Combinación lineal de vectores

Dos vectores u y v, y dos números a y b, el vector a u + b v se dice que es una combinación lineal de u y v

Notas:

• Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos
• Esta combinación lineal es única

Coordenadas de un vector. Base

Dos vectores u y v con distintas direcciones y no nulos forman una base, cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

Si los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, forman una base ortogonal y si tienen módulo 1, su base es ortonormal.

Coordenadas de un vector respecto de una base: Cualquier vector w puede ser combinación lineal de los elementos de una base B (x,y) de forma única: w= a x + b y

A los números (a,b) se les llama coordenadas w con respecto a b

Y se expresa así w=(a,b) ó w (a,b)

Operaciones con coordenadas

Suma de vectores

Las coordenadas de los vectores u + v se obtienen sumando las coordenadas con las de v:

u + v = (u1,u2) + (v1,v2)= (u1+u2, v1+v2)

Resta de dos vectores

Las coordenadas de los vectores u - v se obtienen restando las coordenadas con las de v:

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