Practica markov

Investigación Operativa 3        Práctica Cadenas de Markov        Docente: Noe Panozo J.

1.- Un petrolero realiza las travesías entre una Plataforma Petrolífera y una refinería y viceversa de forma interrumpida tardando 12 horas en cada viaje. El barco es propulsado por dos motores, cada uno de los cuales puede sufrir una avería durante el trayecto con una probabilidad de 0.1. El barco puede navegar con un motor averiado. En este caso, el mecánico de a bordo intenta reparar el motor averiado, con una probabilidad de éxito de 0.6 en cada travesía. Si se averían los dos motores, el barco es remolcado a su destino y debe permanecer amarrado en el puerto durante 24 horas (el tiempo de realizar dos viajes) para ser reparado por completo. Inicialmente el barco navega en perfectas condiciones.

a) Comprobar que el sistema se puede modelizar mediante una cadena de Markov.

Definir los estados de la cadena, hallar la matriz de probabilidades de transición. b) Clasificar los estados de la cadena y hallar las probabilidades de estado estable

c) Hallar la probabilidad de estado estable y el tiempo promedio de 1º pasada.

2.- Si no llueve hoy en El Alto la probabilidad que no llueva mañana es q, en cambio si llueve hoy existe una posibilidad de que llueva mañana y que es igual a q.

a) Construya la matriz de transición

b) Verificar si la cadena es ergódica y calcular las probabilidades de estado estable. c) Hallar el número esperado de días hasta que llueva.

d) Hallar la probabilidad de estado estable y el tiempo promedio de 1º pasada.

3.- Una central telefónica: Se dispone de 4 módulos de atención que se van activando secuencialmente a medida que la cantidad de usuarios que deben ser atendidos aumenta.

Cada módulo tiene un máximo de usuarios a los que puede entregar servicio. Cuando un módulo está completamente utilizado, entra en servicio el siguiente módulo. Si un módulo deja de ser

utilizado, el módulo se desactiva temporalmente, quedando en servicio los módulos anteriores.

Interesa conocer: ¿Cuál es la probabilidad de que cada módulo esté en uso? Es decir, se desea conocer, con que probabilidad se utiliza cada módulo, en cualquier instante de tiempo. Las probabilidades de transición, asociada a cada módulo son:

Hallar la probabilidad de estado estable y el tiempo promedio de 1º pasada.

4.- Dos jugadores A y B juegan una sucesión de partidas. En cada partida, A tiene probabilidad p de ganar y B tiene probabilidad q de ganar (p+q=1). Si A gana, B le paga un peso a A y viceversa. Inicialmente A y B disponen de un capital de a y b pesos respectivamente. El juego termina cuando uno de los 2 jugadores se arruina. Escriba una matriz ⎜pik⎜ de transición de probabilidades.

5.- Las familias de cierto país se clasifican según residan en áreas rurales, urbanas o suburbanas. Los estudios de movilidad demográfica estiman que, en promedio, en el curso de un año, el 15% de las familias urbanas cambia de residencia y se traslada a un área suburbana, y el 5% a un área rural; mientras que el 6% de las familias residentes en áreas suburbanas se traslada a áreas urbanas, y el 4% a áreas rurales, y finalmente el 4% de las familias rurales migra a las áreas urbanas y el 6% a las suburbanas.

a) ¿Cúal es la probabilidad de que una familia que vive ahora en un área urbana siga viviendo en un área urbana dentro de dos años?. ¿Y en una suburbana?. ¿Y en una

rural?.

b) Supongamos que en el presente el 40% de las familias del país viven en áreas urbanas, el 35% en suburbanas y el 25% en rurales. ¿Qué porcentaje de familias vivirá en áreas urbanas dentro de dos años?.

c) ¿Qué distribución de población es de prever en el futuro si las tendencias no cambian?.

d) El tiempo promedio de 1º pasada.

6.- Un bosque consta de dos tipos de árboles: jóvenes (entre 0 y 3 mts de altura) y adultos (más de 3 mts). Cada año, el 30% de los árboles jóvenes muere, el 10% se vende por $20 cada uno, el 20% se mantiene entre 0 y 3 mts y el 40% crece superando los 3 mts. Cada año, el 40% de los árboles adultos se vende por $50, el 20% se vende por $20, el 30% permanece en el bosque y un 10% muere.

a)   ¿Cuál es la probabilidad de que un árbol joven muera antes de ser vendido?

b)        Si plantar un árbol joven cuesta $5, ¿cuál es el beneficio esperado para cada árbol joven plantado?

c) Hallar la probabilidad de estado estable y el tiempo promedio de 1º pasada.

7.- En cierta ciudad los habitantes pueden tener alguna de las profesiones A, B, C. En cada caso los hijos tienden a seguir la profesión del padre con probabilidades 2/5, 2/3 y 1/5 respectivamente. Quienes no siguen la tradición del padre eligen equiprobablemente alguna de las otras dos. Hallar:

a) La distribución porcentual de las profesiones en la próxima generación, si actualmente es de 20% para A, 30% para B y 50% para C.

b)  La distribución límite de las generaciones cuando transcurren muchas generaciones. c) Una cierta distribución porcentual de las profesiones que no cambie de una generación a otra.

d) Hallar la probabilidad de estado estable y el tiempo promedio de 1º pasada.

8.- Consideremos ahora con el ejercicio anterior si ahora el mismo mercado de acciones, solo que el que una acción suba o no mañana, depende de si subió o no hoy y ayer.

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