Problema 4 Solución

PROBLEMA 4 (Solución).- Un alambre metálico (B), de diámetro 5 mm y longitud total 48 m, conduce una corriente eléctrica que genera calor a la tasa de 12 W/cm3. La conductividad térmica del alambre es 45 W/(m K). El alambre está forrado con un aislante (A) de espesor 3 mm. La conductividad térmica del aislante es 0,8 W/(m K).

El ambiente exterior se encuentra a temperatura 25ºC. Se ha estimado el valor he = 90 W/(m2 K) para el coeficiente de transferencia convectivo en la cara exterior del aislante.

Utilizar la solución analítica desarrollada para la conducción a través de un medio generador de calor para calcular las siguientes temperaturas: a) en la cara exterior “2” del aislante; b) en la interfase “1” alambre-aislante; c) en el eje del alambre (r = 0).

Solución:

Si el alambre es muy largo, se puede suponer que el flujo de calor es solamente radial (longitud infinita). En primer lugar, se calcula el calor generado en el volumen total del alambre:

Q = qG , en que es el volumen del alambre: Q = qG  R12 L = 11319,7 W.

En estado estacionario, este mismo flujo de calor tiene que atravesar la capa A y pasar a la atmósfera exterior.

Las temperaturas se obtienen mediante las respectivas resistencias térmicas convectivas o conductivas:

a) Cálculo de T2:

En el paso 2-, se aplica la resistencia convectiva exterior:

T2 – T = Q Rw2 = Q/(he A2). Con el dato he y con A2 = 2  R2 L, se calcula:

T2 = 100,8 ºC (en la cara exterior del aislante).

b) Cálculo de T1:

En el paso 1-2, se aplica la resistencia conductiva a través del aislante:

T1 – T2 = Q RcA = Q eA/(kA AmlA). El espesor es eA = 3 mm; la conductividad térmica de A es kA = 0,8 (W/m2 K); y el area media logarítmica se calcula por su definición: AmlA = 1,1475 m2.

Se obtiene así: T1 = 137,76 ºC (en la superficie del alambre).

c) La temperatura en el eje del alambre (r = 0) se calcula mediante la solución de la ecuación diferencial (desarrollada en clase auxiliar). La solución es:

T0 = T1 + (qG R12)/(4 kB) = 138,176 ºC

(más precisamente, la diferencia (T0 – T1) es 0,717 ºC).

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