Regla Del Trapecio

Introducción:

En este trabajo aremos usos de las formulas newton cotes la cual en este trabajo aprenderemos que son un grupo de fórmulas de integración de tipo interpolatorio en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes para así hallar un valor aproximado de la integral. La cual mientras se realicen más intervalos más precio será el resultado.

Este trabajo nos hará conocer la función de las formulas cerrada y abiertas la cual se denomina así ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta, se les denominarían formulas abiertas. Donde la fórmula abierta divide la función en rectángulos los cuales deben de tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

Para generalizar existen varias fórmulas de newton cotes donde solo las mencionaremos las que utilizaremos y más adelante haremos uso de estas:

Regla de trapecio:

En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de Newton - Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de aproximación es de primer grado.

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f (b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

Regla Simpson:

Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más precisa de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si se toma el punto medio del intervalo de integración [a;b], los tres puntos se pueden unir con una parábola. La fórmula que resulta de tomar la integral bajo ese polinomio se conoce como regla de Simpson. Es decir, la regla de Simpson se obtiene cuando el polinomio de aproximación es de segundo grado.

Otra de las fórmulas que utilizamos son las series de Taylor:

Donde aprenderemos que una serie de Taylor es una representación de una función, donde estos términos se calcularan a partir de la función para un determinado valor de la variable lo que involucra un punto específico sobre la función.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función;

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

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