Seleccion De Portafolios

Aplicaciones financieras

En finanzas, la programación lineal se aplica a situaciones problemáticas que involucran la elaboración de presupuestos de capital, decisiones de hacer o comprar, asignación de valores, selección de portafolios, planeación financiera y mucho más. En esta sección se describe un problema de selección de portafolios y otro que involucra el financiamiento de un programa de retiro anticipada.

Selección de portafolios

Los problemas de selección de portafolios consisten en situaciones en las cuales un gerente financiero debe seleccionar inversiones específicas, por ejemplo, bonos y acciones, entre una variedad de alternativas de inversión. Los gerentes de fondos de inversión, cooperativas de ahorro y bancos con frecuencia se enfrentan a este tipo de problema. La función objetivo para los problemas de selección de portafolios implica, por lo general, la maximización del rendimiento esperado o la minimización del riesgo. Las restricciones a menudo toman la forma de restricciones sobre el tipo de inversiones permisibles, leyes estatales, políticas de la empresa, riesgo máximo permisible, etc. Los problemas de este tipo se han formulado y resuelto utilizando una variedad de técnicas de programación matemática. En esta sección se formula y resuelve un problema de selección de portafolios como un programa lineal.

Considere el caso de Welte Mutual Funds, Inc., con sede en la ciudad de Nueva York. Welte acaba de obtener $100,000 al cambiar bonos industriales por efectivo y ahora busca otras oportunidades de inversión para estos fondos. Con base en las inversiones actuales de Welte, el analista financiero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se hagan en la industria petrolera, la industria siderúrgica o en bonos del gobierno. En específico, el analista identificó cinco oportunidades de inversión y proyectó sus tasas de inversión anuales. Las inversiones y tasas de inversión se muestran en la tabla 9.3.

La gerencia de Welte impuso los siguientes lineamientos de inversión:

1. Ninguna industria (petrolera o siderúrgica) debe recibir más de $50,000.

2. Los bonos del gobierno deben constituir por lo menos 25% de las inversiones en la industria del acero.

3. La inversión en Pacific Oil, inversión de alto rendimiento pero con alto riesgo, no puede constituir más de 60% de la inversión total en la industria petrolera. ¿Qué recomendaciones de portafolio, es decir inversiones y montos, se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar el rendimiento proyectado sujeto a las restricciones impuestas por el presupuesto y la gerencia, podemos responder a esta pregunta al formular y resolver un modelo de programación lineal del problema. La solución proporcionará recomendaciones de la inversión para la gerencia de Welte Mutual Funds.

Sea:

A = dólares invertidos en Atlantic Oil

P = dólares invertidos en Pacific Oil

M = dólares invertidos en Midwest Steel

H = dólares invertidos en Huber Steel

G = dólares invertidos en bonos del gobierno

Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas mostradas en la tabla 9.3, escribimos la función objetivo para maximizar el rendimiento total para el portafolio como:

Max 0.073A + 0.103P + 0.064M + 0.075H + 0.045G

La restricción que especifica la inversión de los $100,000 disponibles es

A + P + M + H + G = 100,000

Los requisitos de que ni la industria petrolera ni la industria siderúrgica deben recibir más de $50,000 son:

A + P <= 50,000

M + H <= 50,000

El requisito de que los bonos del gobierno deben constituir por lo menos 25% de las inversiones en la industria siderúrgica se expresa como:

G >= 0.25( M + H ) o - 0.25M - 0.25H + G >= 0

Por último, la restricción de que Pacific Oil no puede tener más de 60% de la inversión total en la industria petrolera es:

P >= 0.60( A + P ) o - 0.60 A + 0.40 P >= 0

Al añadir las restricciones de no negatividad, se obtiene el modelo de programación lineal completo para el problema de inversión de Welte Mutual Funds:

Max 0.073A + 0.103P + 0.064M + 0.075H + 0.045G

.Restriscciones:

A + P + M + H + G = 100,000 Fondos disponibles

A + P <= 50,000 Máximo de la industria petrolera

M + H <= 50,000 Máximo de la industria siderúrgica

- 0.25M - 0.25H + G >= 0 Mínimo de bonos del gobierno

0.6A + 0.4 P <= 0 Restricción de Pacific Oil

A,P,M,H,G >= 0

La solución óptima a este programa lineal se señala en la figura 9.3. La tabla 9.4 muestra cómo se dividen los fondos entre los valores. Observe que la solución óptima indica que el portafolio debería diversificarse entre todas las oportunidades de inversión, excepto Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado para este portafolio es $8 000, que es un rendimiento global de 8%.

La solución óptima muestra que el precio dual para la restricción 3 es cero. La razón es que el máximo de la industria siderúrgica no es una restricción constante; los incrementos en el límite de $50,000 de la industria siderúrgica no mejorarán el valor de la solución óptima. De hecho, la variable de holgura para esta restricción muestra que la inversión actual en la industria siderúrgica es $10,000 por debajo de este límite de $50,000. Los precios duales para las otras restricciones son diferentes de cero, lo que indica que estas restricciones son constantes.

El precio dual de 0.069 para la restricción 1 muestra que el valor de la solución óptima puede aumentar 0.069 si se asigna un dólar más a la inversión del portafolio. Si se pueden obtener más fondos a un costo menor que 6.9%, la gerencia debe considerar obtenerlos.

Sin embargo, si puede obtenerse un rendimiento que rebase 6.9% al invertir los fondos en otra parte (además de estos cinco valores), la gerencia debe cuestionarse la prudencia de invertir los $100,000 completos en este portafolio.

Interpretaciones parecidas pueden darse a los otros precios duales. Observe que el precio dual para la restricción 4 es negativo en 0.024. Este resultado indica que si el valor en el lado derecho de la restricción aumenta una unidad, puede esperarse que el valor de la solución óptima empeore por 0.024. En términos del portafolio óptimo

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