Seminario de solución de problemas de Métodos Matemáticos I

Universidad de Guadalajara

Centro universitario de ciencias exactas e Ingenierías

Castro Tovar Erick Arturo

Seminario de solución de problemas de Métodos Matemáticos I

Sección: D30

1

Actividad 3: Campos finitos

1. Demuestra de las siguientes ternas cuales son campos finitos

a. (F4,+, ∙), F4 = {0, a, b, c} y las operaciones (+ y ∙) de la terna están definidas de la

siguiente manera:

R = No es un campo finito

2

b. (Z5,+, ∙), Z5 = {0, 1, 2, 3,4} y las operaciones (+ y ∙) de la terna están definidas de la

siguiente manera:

R = Es un campo finito ya que los resultados tienen su parte positiva y negativa

c. (Z10,+, ∙), Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}

R = No es un campo finito.

3

d. (Z6,+, ∙), Z6 = {0, 1, 2, 3, 4,5,}

R = No es un campo finito

4

e. (Z11,+, ∙), Z11 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X}

R = Es un campo finito.

5

2. Realiza una investigación completa sobre los campos finitos o campos de Galois.

Un campo de Galois es un cuerpo que contiene un número finito de elementos.

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los campos finitos tienen característica prima, y por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pn, para p primo y n > 0 entero (pues el campo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). No es en general cierto, sin embargo, que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para un primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), Fp, o GF(p); en algunos casos se usa Zp, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a éste.

Si q = pn es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un campo con q elementos, denotado por Fq o GF(q). Se puede construir como sigue: encuéntrese un polinomio irreducible f(X) de grado n con coeficientes en Fp, y defínase Fq = Fp[X] / , donde Fp[X] denota el anillo de todos los polinomios con coeficientes en Fp, denota el ideal generado por f(X), y la barra diagonal indica el anillo cociente (definido de forma similar al grupo cociente). El polinomio f(X) se puede hallar factorizando Xq-X sobre Fp. El campo Fq contiene a (una copia de) Fp como subcampo.

Ejemplo

El polinomio f(X) = X2 + X + 1 es irreducible en F2, y F4 = F2 [X] / puede representarse como el conjunto {0, 1, x, x+1} donde la multiplicación queda definida por la ecuación x2 + x + 1 = 0. Por ejemplo, para hallar x3, se observa que x(x2 + x + 1) = 0, con lo cual x3 + x2 + x = 0, y x3 = -x2 - x = (x + 1)( - x) = 1; de forma equivalente, habiendo observado que x3 + x2 + x = 0, se obtiene que x3 + (x2 + x + 1) = 1 con lo que x3 = 1, como antes.

Para encontrar un inverso multiplicativo de x en este campo, se debe encontrar un polinomio g(X) tal que X * g(X) = 1 módulo X2 + X + 1; el polinomio g(X) = X + 1 cumple esta propiedad, de modo que 1/x = x + 1. Obsérvese que el campo F4 no tiene relación con el anillo Z4 de enteros módulo 4. Para construir el campo F27, se comienza con el polinomio irreducible (en F3) X3 + X2 + X - 1. Se tiene entonces F27 = {ax2 + bx + c | a, b, c ∈ F3}, donde la multiplicación se define por x3 + x2 + x - 1 = 0.

...