Solución problema lineal por método gráfico

Variables

Sea  la cantidad de producto i a producir, i=1,2[pic 1]

Parámetros

Sea  la utilidad al vender el producto i[pic 2]

Sea  las horas requeridas del producto i para el proceso j, i=1,2; j=1,2,3[pic 3]

Sea  las horas disponibles de cada proceso j, j=1,2,3[pic 4]

Función objetivo

 [pic 5]

Restricciones

Sujeto a:

 Restricción por horas disponibles proceso 1[pic 6]

 Restricción por horas disponibles proceso 2[pic 7]

 Restricción por horas disponibles proceso 3[pic 8]

 Restricción de no negatividad[pic 9]

Modelo compacto

FO

[pic 10]

Sujeto a

[pic 11]

[pic 12]

Solución método gráfico

En Este caso de ejercicio en la que solo hay dos variables, se puede dar solución de forma grafica para eso lo que tenemos que hacer es graficar las ecuaciones de restricción convirtiéndolas de inecuaciones a ecuaciones, debido a que el problema es de maximización se identifica la región factible que se ubica por debajo de las ecuaciones en este caso ( dado todas la restricciones son menor e igual y por encima de los ejes para cumplir la restricción de no negatividad[pic 13]

[pic 14][pic 15]

Ahora incluimos la recta  paralela  que resulta da la ecuación 2x1+3x2=0 ( función objetivo),  al mover la línea sobre el polígono del área factible el último punto que toca esta recta es la intersección de R1 y R2, para encontrar la solución resolvemos el sistema de dos ecuaciones para determinar el punto de intersección

 (1)[pic 16]

  (2)[pic 17]

De la ecuación 1 despejamos X1

 (3)[pic 18]

Remplazamos la ecuación (3) en la ecuación (2)

  [pic 19]

  [pic 20]

[pic 21]

Despejamos el valor de X2 en la ecuación (1)

[pic 22]

[pic 23]

Como encontramos la solución en el punto (4;4) podemos decir que la mayor utilidad se obtiene al producir 4 unidades del producto 1 y 4 unidades del producto 2, por tanto la utilidad es igual a:

[pic 24]

La utilidad máxima que se espera es de $20

Analizando el problema el área de factibilidad nos indica el conjunto de cantidades de ambos productos que se pueden producir para cumplir con todas las restricciones donde se logra la máxima utilidad en el punto solución por tanto si se quiere aumentar más la utilidad, será necesario aumentar la capacidad  de los proceso para mover las línea de las restricciones, lo que agrandaría más el área de factibilidad, que en este caso es restringido por la Restricción del proceso 1 y la restricción del proceso 2 donde se utiliza la máxima capacidad en horas disponible de estos

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