TRABAJO QUE EXPONE FORMAS DE RESOLVER EJERCICIOS

TRABAJO QUE EXPONE FORMAS DE RESOLVER EJERCICIOS PRÁCTICOS DE CONJUNTOS

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

El concepto matemático de relación está basado en la noción de relación entre objetos. Algunas relaciones describen comparaciones entre elementos de un conjunto: Una caja es más pesada que otra, un hombre es más rico que otro, etc. Otras relaciones involucran elementos de conjuntos diferentes, tal como “x vive en y”, donde x es una persona e y es una ciudad, “x es propiedad de y” donde x es un edificio e y es una empresa, ´o “x nació en el país y en el año z”.

Todos los ejemplos anteriores son de relaciones entre dos o tres objetos, sin embargo, en principio, podemos describir relaciones que abarquen n objetos, donde n es cualquier entero positivo. Cuando hagamos una afirmación que relacione n objetos, será necesario no solamente especificar los objetos en sí mismos sino también una ordenación de los mismos. Por ejemplo, la posición relativa de 3 y 5 da lugar únicamente a dos afirmaciones “5 < 3” y “3 < 5”, siendo una de ellas falsa y la otra verdadera.

Usaremos las n-tuplas ordenadas de elementos para especificar una sucesión finita de objetos no necesariamente distintos; la posición relativa de los objetos en la sucesión nos dará la ordenación necesaria de los mismos.

1. N-TUPLA ORDENADA:

Llamaremos n-tupla ordenada a una sucesión de n objetos a1, a2, . . . , an dados en un cierto orden y la notaremos por (a1, a2, . . . , an).

Obsérvese que es fundamental el orden en que escribamos los elementos de la n-tupla, así

(a1, a2, . . . , an) 6= (a2, a1, . . . , an)

Si n = 2, una n-tupla ordenada se llama “par ordenado” y si n = 3, “terna ordenada”.

2. IGUALDAD DE N-TUPLAS:

Diremos que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y solo si, sus i-´estimas componentes son iguales para todo i, 1 6 i 6 n, es decir,

(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn) () ai = bi, 8i, 1 6 i 6 n

Muchas veces trataremos con colecciones de n-tuplas donde la componente i-estima de cada n-tupla es un elemento de un conjunto Ai. Definimos el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas.

3. PRODUCTO CARTESIANO:

Dada una colección arbitraria de conjuntos A1, A2,. . ., An, llamaremos producto cartesiano de los mismos y lo notaremos por A1 ×A2 ו • •×An, al conjunto formado por todas las n-tuplas ordenadas, (a1, a2, . . . , an), donde ai 2 Ai, 1 6 i 6 n, es decir,

A1 × A2 × • • • × An = {(a1, a2, . . . , an) : ai 2 Ai 1 6 i 6 n}

En el caso de dos conjuntos A y B, tendremos A × B = {(a, b) : a 2 A ^ b 2 B} y este producto se llama binario si A = B, o sea,

A × A = {(a, b) : a 2 A ^ b 2 A} y suele notarse por A2.

Su extensión a n conjuntos se define como

A × A×

(n • • • ×A = {(a1, a2, . . . , an) : ai 2 A, 1 6 i 6 n} y lo notaremos por An.

NOTA: Obsérvese que A×; = ;. En efecto, si A×; no fuese vacío, entonces existiría, al menos, un par (a, b) 2 A × ; de aquí que a 2 A y b 2 ;, lo cual es imposible.

EJEMPLO 1: Considerando el conjunto R de los números reales, el producto cartesiano R2 = R × R es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales.

R × R = R2 = {(x, y) : x, y 2 R}

Cada punto P representa un par ordenado (x, y) de números reales y viceversa. A R2 se le llama normalmente plano cartesiano.

EJEMPLO 2: Sean A = {x 2 R : 1 6 x 6 2} y B = {y 2 R : 0 6 y 6 1}. Hallar A × B y B × A.

Solución

A × B = {(x, y) : 1 6 x 6 2 ^ 0 6 y 6 1}

B × A = {(y, x) : 0 6 y 6 1 ^ 1 6 x 6 2}

4. PROPIEDADES

El producto cartesiano es distributivo respecto de la unión y la intersección

...