TRABAJO: UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES GENERALES

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NOMBRE DE ALUMNO: MORALES REYES CARLOS EDUARDO

CARRERA: INGENIERIA MECANICA

NO. DE CONTROL: E15020906

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

PROFESOR: ORDOÑES PACHECO LUZ MARIA

TRABAJO: UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES GENERALES

INSTITUTO: ITVER

TRANSFORMACIONES LINEALES GENERALES

Si T: V → W  es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W. entonces T se denomina una transformación lineal de V a W si para todos los vectores u y v de V y para todos los escalares de c

1. T(u+v)= T(u)+T(v)                                                     b) T(cu)= cT(u)

En el caso especial en que V=W, la transformación lineal T: V→ V se denomina operador lineal sobre V

Transformaciones matriciales

A las transformaciones lineales Rn  a  Rm se les llama transformaciones matriciales, ya que se pueden efectuar por medio de la multiplicación matricial

Transformación cero

Sean V y W dos espacios vectorales cualquiera. El mapeo T: V → W tal que T(v)=0 para todo v en V es una transformación lineal denominada la transformación cero

               T(u + v) = 0         T(u)= 0           T(v) = 0        y               T(Ku)= 0

Por consiguiente

             T( u + v)= T(u) + T(v)      y         T(ku)= kT(u)

Operador de identidad

Sea V cualquier espacio vectorial. El mapeo I : V → V definido por I(v)= v se denomina el operador identidad sobre V. La comprobación de que I es lineal se le deja al lector

Operaciones dilatación y contracción

Sea V cualquier espacio vectorial y k cualquier escalar fijo. Se deja como ejercicio comprobar que la función T : V → V definida por

T(T(v)= kv

Es un operador lineal sobre V. este operador lineal se denomina dilatación de V con factor k si k > , y se denomina contracción de V con factor k si 0 < k < 1.

Proyecciones ortogonales

Las proyecciones ortogonales también se pueden definir en espacios generales con producto interior como sigue: suponer que W es un subespacio de dimensiones finita de un espacio V con producto interior; entonces la proyección  ortogonal de V sobre W es la transformación definida por

T(v)= proywv

Transformacion lineal de un espacio V a Rn

[u + v]s = [u]s + [v]s    y      [ku]s = k[u]s

Transformacion lineal de Pn  a Pn+1

Sea p= p(x) = c0 + c1x +……+ cnxn un polinomio en Pn, y sea que e define la función T: Pn → Pn+1 por

T(p) = T(p(x)) = xp(x) = c0x + c1x2 +…….+ cnxn+1

La function T es una transformacion lineal ya que para cualquier scalar k y para polinomios cualquiera p1 y p2 en pn se tiene

T(kp) = T(kp(x)) = x(kp(x)) = k(xp(x)) = kT(p)

Operador lineal sobre Pn

Sea p= p(x) = c0 + c1x +……+ cnxn  un polinomio de Pn y sean a y b escalares cualquiera. Se deja como ejercicio demostrar que la función T definida por

T(p) = T(p(x)) = p (ax + b) = c0 + c1 (ax + b) +… + cn(ax + b)n

Transformacion lineal usando un producto interior

Sea V un espacio con producto interior y sea v0 cualquier vector fijo en V. sea      T: → R la transformación que mapea un vector  v en su producto interior con v0, es decir

T(v) =[v, v0]

Por las propiedadees del producto interior

T(ku) = [ku, v0] = k[u, v0] = T(u) + T(v)

Transformacion lineal de c1 (-∞,∞) a F(-∞,∞)

Sea v = c1 (-∞,∞) el espacio vectorial de las funciones con primeras derivadas coninuas en (-∞,∞) y sea W = F (-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funiones con vectores reales definias en (-∞,∞). Sea D : V → W la transformacion que mapea una funcion  f = F(x) en su derivada

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