Taller De Calculo

TALLER DE CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCION:

Área comprendida entre dos curvas

Hallar el área comprendida entre las parábolas. y= 6x-x^2 e y= x^2- 2x

6x-x^2 e y= x^2- 2x

6x-2x= x^2-2x

6x+2x= x^2+2x

8x=2x^2

8x-2x^2=0

2x(4-x)=0

x(4-x)=0

x=0 x=4

A=∫▒〖((6x-x^2 )-(x^2-2x)〗 ) dx

∫_0^4▒〖(6x-x^2-x^2+2x)〗 dx

A=3x^2-x^3/3 - x^3/3+x^2

A= 64/3

Hallar el área limitada por la curva y^(2 )=x^2- x^4

y= √(x^2-x^(4 ) ) ⇒ y=x √(1- x^2 )

A=2∫_0^1▒√(x^2-x^(4 ) ) dx= 2 ∫_0^1▒〖x √(1-x^2 )〗 dx=

∪=1- x^2 d∪= -2x dx

-(d∪)/2 x dx

∫_0^1▒∪^(1⁄2) d∪=∫_0^1▒∪^(1⁄2) d∪= (2/3 ∪^(3⁄2) )

=2/3(1^(3⁄2)- 0^(3⁄2))

= 2/3 ∪^2

Hallar el área de la intersección de los círculos x^2+y^2=4 y x^2+y^2=4x

y=√(4-x^2 ) y y= √4x- x^2

√(4-x^2 ) = √(4-x^2 )

4-x^2 = 4x-x^2

0=4x-x^2-4+x^2

4x-4=0

4-(x-1)=0

x=1

A=+2∫_0^1▒√(4x-x^2 ) dx+2∫_1^2▒√(4-x^2 ) dx

∫▒√(4x-x^2 ) dx=∫▒√(4-4+4x-x^(2 ) ) dx= ∫▒√(4-(4-4x+x^2 ) ) dx

√(4-(4〖x)〗^2 ) dx =∫▒〖2√(4〖cos〗^2 ) θ〗 cos⁡θ dθ

=∫▒√(4-(4〖x)〗^2 dx = ∫▒〖2 √(4〖cos〗^2 θ)〗 cosθdθ)

4∫▒〖〖cos〗^2 θ dθ =2∫▒〖(1+cos〗 2θ)〗 dθ

=2θ+sen2θ+c

=2θ+2senθcosθ+c

〖=2sen〗^(-1) (4-x)/2+2 (x-4)/2-√(4x-x^2 )/2+c

2〖sen〗^(-1) (4-x)/2+((x-4)√(4x-x^2 ))/2+c

4-x=2senθ

dx=2cosθd

(4-〖x)〗^2=4〖sen〗^2 θ

4-(4-〖x)〗^2=4-4〖sen〗^2

=4(1-〖sen〗^2 θ)

=4〖cos〗^2 θ

θ=〖sen〗^(-1) (4-x)/2

VOLUMEN ENTRE SOLIDOS DE REVOLUCION

y=x^3,y=0,x=2, a) al eje x, b) al eje y, c) la recta x=4

Disco

v=π∫_0^2▒〖x^6 dx=1/7 x^(7 )=π[1/7(2)^7-0]=128/7〗 π

Corteza cilíndrica

v=2π∫_0^8▒〖y[2-∛y]dy=-2π∫_0^8▒〖(2y-y^(4⁄3))dx〗〗

=-2π(y^2-3/4 y^(7⁄3) ) = -2π[64-3/4(〖8)〗^(7⁄3) ]=(32)2π=64

b)

Disco

v=π∫_0^8▒〖(2-〖∛(y))〗^2 〗 y

v= π∫_0^8▒(4-4∛y+y^(2⁄3) ) dy

v=π[4y-3y^(4⁄3)+(3y^(5⁄3))/5]

v= π[32-3(16)+3/5 (32)]

=16/5 π∪^3

Corteza cilíndrica

v=2π∫_0^2▒〖x[x^3 ]dx=2π∫_0^2▒〖x^4 dx=2/5 πx^5 =64/5 π〗〗

c)

Corteza cilíndrica

v=2π∫_0^2▒〖(4-x)

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