Tarea De Calculo

¿Que son las funciones trascendentales? Son aquellas que no son algebraicas.

¿Qué es el límite de una función? Es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes. El limite de una función se refiere a la cercanía de un valor y un punto.

Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

¿Para qué nos sirven los limites de funciones? Los limites sirven para poder averiguar si una función tiene discontinuidad en un tramo (ej:f(x)=1/x^2 es discontinua en x=0) o tiene algún cambio brusco en la pendiente de la curva de la función (ej: f(x)=IxI en x=0).

Tipos de límites de funciones:

-Limites laterales:

• Límite por la derecha

El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

• Límite por la izquierda

El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

TEOREMA Existe el límite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

Nota:aunque también es valido si consideramos que el límite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.

• Límites de funciones trigonométricas

Demostración del límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0

Considerese que, un entorno reducido de 0,

Si dividimos todos los miembros por nos queda

Pero y

Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente indeterminada

Si hallamos el de cada miembro, nos queda

Y como y , por Teorema del Emparedado nos queda que

• Límites infinitos

Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezca o decrezca pero sin dejar atrás la definición de limite entonces en conclusión se podría determinar que la función se acercaría al límite por un infinito de números pero nunca tocando el limite.

Definición 1

Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto (a,+∞). El limite de f(x) cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:

Definición 2

Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como

Teorema

Sea n cualquier entero positivo, entonces

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