TAREA DE CALCULO
Enviado por ROBERTO_FJDO • 29 de Enero de 2016 • Resumen • 2.026 Palabras (9 Páginas) • 419 Visitas
1. La integral definida
Considere a una función de variable real f definida en un intervalo [a, b]. El objetivo en mente es calcular, si es posible, el área de la región limitada por la función y el eje x en el intervalo [a, b].
1.1. Nociones de la Integral de Riemann
Una partición uniforme Pn, (n ≥ 1), del intervalo [a, b] es una sucesión de n +1 puntos x0,x1,...,xn de la forma
b − a
xk = a + k ,k =0, 1, 2, . . . , n.
n Supongamos que f es continua en [a, b] y f ≥ 0. La suma superior de Riemann Sn(f) se define por
n
b − ab − ab − a
Sn(f) = supf(x): a +(k − 1) ≤ x ≤ a + k.
n nn
k=1
De manera análoga se define a la suma inferior de Riemann como
n
b − ab − ab − a
sn(f) = ´ınff(x): a +(k − 1) ≤ x ≤ a + k.
n nn
k=1
Si denotamos por Area (f) al área limitada por f y el eje x en [a, b], entonces tiene lugar la siguiente relación
sn(f) ≤ Area (f) ≤ Sn(f).
Además, si m ≥ n se tiene
sn(f) ≤ sm(f) y Sm(f) ≤ Sn(f).
El límite de las sumas de Riemann existe y además
l´ım sn(f) = Area (f) = l´ım Sn(f).
n→∞ n→∞
Dicho límite es igual al área comprendida entre la gráfica de la función y el intervalo [a, b], y se le conoce como la integral definida de f en [a, b]
b f(x)dx = Area (f) = l´ım sn(f) = l´ım Sn(f).
n→∞ n→∞ a
1. Encuentre las sumas superior e inferior de Riemann para las siguientes funciones en los intervalos dados. Además calcule el límite de las sumas de Riemann
a)f(x) = sin x, 0 ≤ x ≤ π/2, b)f(x)= −x 2 +4, |x|≤ 2,
3
c)f(x)= x, 0 ≤ x ≤ 3, d)f(x) = cos2 x, |x|≤ π/2.
1.2. Propiedades de la integral definida
Si f ≤ 0 se define
bb
f(x)dx = − (−f)(x)dx.
aa
Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b]. Entonces tienen lugar las siguientes propiedades.
a)
b bb
(f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx.
a aa
b) Para cualquier constante c
bb
(cf)(x)dx = cf(x)dx.
aa
c) Para cualquier ξ, a ≤ ξ ≤ b,
bξb
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
a aξ
d) Si se tiene la desigualdad f(x) ≤ g(x), para todo a ≤ x ≤ b, entonces
bb
f(x)dx ≤ g(x)dx.
aa
1.3. El teorema fundamental de cálculo
Definición 1. Sea f una función definida en un intervalo [a, b]. Se dice que F es una primitiva de f en (a, b) si para todo x en (a, b) tiene lugar la igualdad d
F (x)= f(x).
dx
Teorema 1. El Teorema Fundamental del Cálculo. Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Entonces f admite una función primitiva F en [a, b], es decir
F '(x)= f(x).
Más aún, tiene lugar la igualdad
b
f(x)dx = F (b) − F (a).
a
1. Verifique que las siguientes funciones F, son funciones primitivas de las respectivas funciones f en los intervalos indicados.
a)
1
F (x) = tan x, f(x)= ,x ∈ [−π/4, π/4].
cos2 x
b)
1
F (x)= − cot x, f(x)= ,x ∈ [π/4, 2π/4].
sin2 x
c)
n+1
x
n
F (x)= ,f(x)= x, x ∈ [a, b],n= −1.
n +1
d)
F (x)= 1sin2 x, f(x) = cos x sin x, x ∈ [−π, π].
2
e)
F (x) = sec x, f(x) = sec x tan x, x ∈ [0, π/4].
2. Buscando funciones primitivas adecuadas y usando las propiedades de la integral definida calcule las siguientes integrales
b 1/2 xn − 1
n
a) (x + x −n)dx, |n| =1, b) dx, n = −1,
x − 1
00 x π/2 p/q dt, 4
c) tp,q enteros, d) cos x sin x dx,
00 π/2 π
e) sinn x cos x dx, f) sin2 x dx,
00
√
π/4 π/2
g) (1 + sin θ) sec2 θ dθ, h) x cos x 2 dx.
−π/40
3. Calcule las siguientes integrales
π/2
cos x, si − π/2 ≤ x ≤ 0,
a) f(x)dx, f(x)=
sin x, si 0 ≤ x ≤ π/2,
−π/2
2
b) | f(x) dx, | f(x) = | x2 , 2x, | si 0 ≤ x ≤ 2, si 2 ≤ x ≤ 4, |
0 | ||||
5 | ||||
c) | |x 2 − 4| dx. | |||
−5 |
2. La integral Indefinida
Sea f una función continua en un intevalo (a, b). Sabemos que f admite una función primitiva F. La integral indefinida de f se puede definir como f(x)dx = F (x)+ C, donde C representa a una constante arbitraria.
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