Tema de secuencia dos

Tema de secuencia dos.

2. Vectores.

Un vector (en Geometría) es un ente geométrico definido por un segmento orientado de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadas magnitudes vectoriales. Otra definición (más Mecánica) es la de una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Otra (Matemática); elemento de un espacio vectorial. En Mecánica, una magnitud es vectorial cuando en su determinación necesitamos, además de su medida (módulo), una dirección y un sentido. Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud del segmento; su dirección por la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama punto de aplicación.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

2.1 Definición de cantidad vectorial incluye cantidad escalar.

Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse.

30 kg + 40 kg = 70 kg

20 s + 43 s = 63 s

Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales.

2.2 Operaciones con segmentos dirigidos y sus propiedades. Método de paralelogramo, triangulo, suma de componentes, ley de seno y coseno.

Los segmentos dirigidos, se denotan de manera usual a los segmentos, pero respetando la dirección. Por ejemplo, en la notación AB, A es el punto inicial y B el punto final. De esta manera, BA es otro segmento dirigido con la dirección opuesta a AB.

La regla básica para operar segmentos dirigidos es la siguiente:

AB+BC=AC

Donde A, B y C son puntos alineados.

NOTA: Una diferencia importante entre los segmentos dirigidos y los vectores, es que los segmentos dirigidos tienen posición.

Teoremas Importantes con Segmentos Dirigidos.

Hay dos teoremas muy importantes con segmentos dirigidos, estos son:

Teorema de Ceva: Las cevianas AP, BQ y CR del triángulo ABC concurren en un punto si y sólo si se satisface que:

Teorema de Meneleo: Los puntos P, Q y R sobre los lados BC, CA y AB del triángulo ABC son colineales si y sólo si se satisface que:

Para éstos dos teoremas es muy importante el uso de segmentos dirigidos, de lo contrario sería muy difícil expresar el “si y sólo si”. Por ejemplo, sin segmentos dirigidos, si encontramos tres puntos en los lados de un triángulo y sabemos que el producto de razones ARRBBPPCCQQA es uno (sin segmentos dirigidos) no sabríamos decidir si las cevianas se intersecan o si los puntos están alineados. Pero si usamos los segmentos dirigidos, sabremos de cuál de las dos opciones se trata, pues en un caso el producto de razones es uno y en el otro menos uno.

2.3 Algebra de ternas ordenadas de números reales.

Vectores en el plano y en el espacio: simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones. Definición de segmento dirigido; componentes escalares de un segmento dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio; el vector como pareja y como terna ordenada de números reales. Definición de vector deposición y de módulo de un vector e interpretación geométrica. El vector como conjunto ordenado de números reales.

2.4 Representación gráfica de cantidad vectoriales.

• Un plano.

• Tres dimensiones.

2.5 Calculo de la magnitud de un vector.

• Para un vector en el plano.

• Para un vector en el espacio.

Para el estudio de cualquier fenómeno físico necesitamos un sistema de referencia, la forma más simple empleada, es el de coordenadas cartesianas ortogonales. Inicialmente, podemos asociar un conjunto de puntos X con el conjunto de los números reales, lo que constituiría un sistema coordenado

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