Teoria De Numeros

Aritmética y AIgebra

El propósito de esta sección es practicar algunos conceptos de aritmética

y álgebra que estudiamos desde los primeros años de nuestra

educación, pero que a veces nos .han resultado tediosos pues se nos ha

hecho trabajados de forma mecánica, con cuentas y ecuaciones cuyas

propiedades debemos memorizar sin comprender realmente. Queremos

entonces, con esta sección, eliminar el miedo que se le tiene a este tipo de

estudio. Propondremos problemas que iremos resolviendo y analizando.

Haremos comentarios para resaltar las propiedades que se apliquen en

cada caso y aprenderemos algunas fórmulas y terminología importantes.

Todos los números que consideramos en esta sección son los llamados

números ,reales, es decir, los que nos sirven para medir distancias y sus

negativos (por ejemplo son reales: 19, O, -31.8, 1r, yI3, -1~' etc).

.......-..

Reacomodos

En muchas ocasiones, antes de hacer cuentas, conviene analizar

si alguna forma de agrupar o de ordenar los términos con los cuales

vamos a operar puede simplificarnos el trabajo. A continuación veremos

algunos ejemplos de esto.

[1.1] Ejemplo. ¿Qué dígito debe sustituirse por * para que sea

cierta la igualdad

*1996 = *444?

9

Solución. Basta hacer la multiplicación *444 x 9. Se obtendrá

* = 2. .

[1.2] Ejercicio. Calcular 99 - 97 + 95 - 93 + 91 - . . . + 3 - 1.

[1.3] Ejemplo. Raúl leyó un libro. El primer día leyo 5 páginas,

y cada día siguiente leyó 2 páginas más que el anterior. Si la lectura le

llevó un total de 20 días, ¿cuántas páginas tenía el libro?

Solución. El número de páginas del libro es

5 + (5 + 2) + (5 + 2 . 2) + . . . + (5 + 19 . 2)

=20.5+ (1 + 2 + . . . + 19) .2 = 20.5 + 190. 2 = 480. .

[1.4] Nota. En el ejemplo anterior aparece la suma de los primeros

enteros positivos. Al ser pocos los números a sumar, es fácil hacer las

cuentas directamente; sin embargo éste no es siempre el caso, por lo

que conviene conocer la fórmula general para la suma de los primeros

n enteros positivos, llamada Fórmula de Gauss:

n(n + 1) 1+2+3+...+n-

- 2 .

Esta fórmula se comprueba fácilmente llamando S a la suma 1 + 2 +

2

~

. . . + n, escribiendo S de dos maneras diferentes y sumando miembro

a miembro:

55

25

1 + 2 +

n + n-1 +

- (n + 1) + (n + 1) + ...

+ n-1 + n

+ 2 + 1

+ (n + 1) + (n + 1).

De la última ecuación tenemos la fórmula buscada. -

-..-

[1.5] Ejercicio. Calcular la suma 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 300.

[1.6] Ejemplo. Calcular la suma de los 100 quebrados que se

obtienen formando todos los cocientes de cada par de números de la

siguiente lista

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512

Solución. Pongamos los quebrados en una tabla:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

8 §. 8 §. 8 8 8 8

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

16 16 16 16 16 16 16 16 16

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

32 32 32 32 32 32 32 32 R R

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

64 64 64 64 64 64 64 64 64 64

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

128 128 128 128 128 128 128 128 128 128

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

256 256 256 256 256 256 256 256 256 256

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

512 512 512 512 512 512 512 512 512 512

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

El trabajo se simplifica mucho

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