Teoria De Numeros

Aritmética y AIgebra

El propósito de esta sección es practicar algunos conceptos de aritmética

y álgebra que estudiamos desde los primeros años de nuestra

educación, pero que a veces nos .han resultado tediosos pues se nos ha

hecho trabajados de forma mecánica, con cuentas y ecuaciones cuyas

propiedades debemos memorizar sin comprender realmente. Queremos

entonces, con esta sección, eliminar el miedo que se le tiene a este tipo de

estudio. Propondremos problemas que iremos resolviendo y analizando.

Haremos comentarios para resaltar las propiedades que se apliquen en

cada caso y aprenderemos algunas fórmulas y terminología importantes.

Todos los números que consideramos en esta sección son los llamados

números ,reales, es decir, los que nos sirven para medir distancias y sus

negativos (por ejemplo son reales: 19, O, -31.8, 1r, yI3, -1~' etc).

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Reacomodos

En muchas ocasiones, antes de hacer cuentas, conviene analizar

si alguna forma de agrupar o de ordenar los términos con los cuales

vamos a operar puede simplificarnos el trabajo. A continuación veremos

algunos ejemplos de esto.

[1.1] Ejemplo. ¿Qué dígito debe sustituirse por * para que sea

cierta la igualdad

*1996 = *444?

9

Solución. Basta hacer la multiplicación *444 x 9. Se obtendrá

* = 2. .

[1.2] Ejercicio. Calcular 99 - 97 + 95 - 93 + 91 - . . . + 3 - 1.

[1.3] Ejemplo. Raúl leyó un libro. El primer día leyo 5 páginas,

y cada día siguiente leyó 2 páginas más que el anterior. Si la lectura le

llevó un total de 20 días, ¿cuántas páginas tenía el libro?

Solución. El número de páginas del libro es

5 + (5 + 2) + (5 + 2 . 2) + . . . + (5 + 19 . 2)

=20.5+ (1 + 2 + . . . + 19) .2 = 20.5 + 190. 2 = 480. .

[1.4] Nota. En el ejemplo anterior aparece la suma de los primeros

enteros positivos. Al ser pocos los números a sumar, es fácil hacer las

cuentas directamente; sin embargo éste no es siempre el caso, por lo

que conviene conocer la fórmula general para la suma de los primeros

n enteros positivos, llamada Fórmula de Gauss:

n(n + 1) 1+2+3+...+n-

- 2 .

Esta fórmula se comprueba fácilmente llamando S a la suma 1 + 2 +

2

~

. . . + n, escribiendo S de dos maneras diferentes y sumando miembro

a miembro:

55

25

1 + 2 +

n + n-1 +

- (n + 1) + (n + 1) + ...

+ n-1 + n

+ 2 + 1

+ (n + 1) + (n + 1).

De la última ecuación tenemos la fórmula buscada. -

-..-

[1.5] Ejercicio. Calcular la suma 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 300.

[1.6] Ejemplo. Calcular la suma de los 100 quebrados

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