Estado del arte. Teoría de los Números complejos

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Teoría de los Números complejos

Introducción

Teodoro M. Ceballos y Jesús López Sánchez

Tema 1.

Estado del arte

Históricamente, todos sabemos que la extensión del campo real , es precisamente el campo complejo  (lea campo complejo C). En esta dirección, a principios del siglo XVI, Girolano Cardano consideró ecuaciones cuadráticas y cúbicas, tales como , que no tienen resolución en el campo real; i.e., el número indeterminado , no puede ser calculado. Como consecuencia, la fórmula , da expresiones formales para las dos soluciones de la ecuación .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Sin embargo, esta fórmula puede requerir raíces cuadradas de números negativos; p.ej.,  para la ecuación . Cardano observó, que si estos números complejos son tratados como números ordinarios con la regla , estos, resolvían en efecto las ecuaciones. Así que, a la importante expresión  se le da ahora la ampliamente aceptada designación de . Una convención alternativa es seguida por muchos ingenieros eléctricos, quienes prefieren la notación , puesto que ellos desean utilizar la letra  para la representación de la corriente eléctrica.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Pero, todos estamos enterados que en el pasado se sentía que ningún significado podría realmente ser asignado a tales expresiones , que fueron entonces llamadas . Gradualmente, en especial como resultado del trabajo de Leonhard Euler en el siglo XVIII, estas cantidades imaginarias llegaron a desempeñar un papel importante. P.ej., la famosa fórmula de Euler definida por , descubrió la existencia de una profunda relación entre los números complejos y las funciones trigonométricas.[pic 14][pic 15]

Se encontró que la regla definida por  reducía las reglas para la expansión del seno y coseno de la suma de dos ángulos de una manera simple, y este solo resultado indicó que algún significado debería ser atribuido a estos números imaginarios. Muy a pesar de todo lo que acabamos de citar, se tuvo que esperar hasta que aparecieran los trabajos de Casper Wessel (circa, 1797), Jean Robert Argand (1806), Karl Friedrich Gauss  Sir William R. Hamilton ; et. al., cuando se aclaró el significado de los números complejos y se entendió que no hay nada de imaginario en ellos, aunque todavía se siga utilizando.[pic 16][pic 17][pic 18]

Aunque no es el tema que ahora nos ocupa, el análisis complejo, fue desarrollado en el siglo XIX, principalmente por Agustin Cauchy . Posteriormente, su teoría se hizo más rigurosa y fue extendida por matemáticos tales como Peter Dirichlet , Karl Weierstrass  y Georg Friedrich Bernhard Riemann . Así que, la búsqueda de un método para describir la conducción del calor influenció el desarrollo de la teoría, misma que encontró muchos usos fuera de las matemáticas, i.e., en la resolución de problemas del mundo real.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

En particular, en física e ingeniería, p.ej., hidrodinámica y electrostática. Esta teoría también tiene aplicaciones matemáticas en problemas que a primera vista no parecen involucrar números complejos, p.ej., la demostración de que

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O también que

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O en su caso

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Puede ser difícil o imposible si se utiliza el cálculo fundamental, pero estas identidades pueden ser probadas rápidamente al usar las técnicas de variable compleja. El análisis complejo que tiene sus raíces en la aritmética de los números complejos, ha resultado ser una herramienta usual e indispensable en el trabajo de matemáticos, físicos e ingenieros. El descuido de éste puede ser un serio impedimento en la mayoría de las áreas de investigación y usos en el mundo real que involucran ideas y técnicas matemáticas.

Como puede deducir, amigo aprendedor; resulta como siempre, muy difícil hablar del campo complejo ; pero, después de impartir durante varios años la asignatura de variable compleja a futuros ingenieros, tengo ideas concretas y realistas, al menos eso espero, respecto a sus necesidades y ventajas. Ahora bien, los estudiantes siempre serán estudiantes. En los modelos educativos de cualquier país, invariablemente se les obliga a tomar varias asignaturas, pero tal vez tal vez ellos estudien algunas de ellas sólo para aprobar los cursos y tengan el propósito de olvidarlas después de los exámenes.[pic 26]

Sin embargo, pueden y hasta los más inteligentes y aventajados lo hacen, preguntar oportunamente: ¿es interesante?, ¿para qué sirve?, otras. Estas preguntas se justifican totalmente. Así que, como una rama de las matemáticas avanzadas; debe ubicarse en el lugar de los estudiantes, futuros ingenieros. En esta dirección, el que aprende, antes de estudiar definiciones difíciles de entender y demostraciones detalladas, el alumno lo que quiere es estar seguro de que el tema le va a interesar y de que es lo suficientemente útil como para dedicar tiempo y esfuerzo en la apropiación de los conceptos y pruebas.

Al entenderlo, después de dar clases a varias generaciones de estos estudiantes, he ido adaptando mis clases a su punto de vista y me apego a la siguiente metodología

1. Aplico la Teoría de la Modelación Matemática (TMM).

1. Observo un evento o fenómeno que esté ocurriendo en el Mundo Real (MR) y registro los datos significativos que crea conveniente.

1. Con base a estos registros, construyo un enunciado que después comúnmente le llamamos problema, sin el temor de utilizar el lenguaje matemático formal cuando éste diga más que la precisa terminología convencional. Cuidando desde luego, no introducir términos técnicos antes de que el que aprende entienda el por qué, tendremos que utilizarlos.

1. Hasta aquí, les indico a todos los participantes de mi curso de Matemáticas Avanzadas (MA), que el proceso de Modelación Pura (MP) a concluido.

1. Inicio el proceso de Modelación Matemática (MM), para definir el modelo matemático del fenómeno observado. Sin entrar de inmediato o fuera de tiempo, en detalles complicados referente a las demostraciones. Por lo que, siempre extiendo una idea general o sólo un esquema intuitivo de la prueba.

1. Resuelvo el Modelo Matemático construido en el punto .[pic 27]

1. Interpreto los resultados obtenidos de la matemática pura y, los registro en una tabla de transformación de datos de la matemática pura, a datos del MR.

1. Basándome en esta tabla, resuelvo el Problema del Mundo Real (PMR), i.e., del fenómeno observado.

1. Identifico la teoría del tema matemático que deseo que los alumnos aprendan, i.e., reviso el proceso de la MM y voy definiendo definición por definición que dicho proceso vaya germinando y, que tenga que ver con el objetivo educacional que me ocupe.

Generalizando, estar enterado de que el aprendizaje habitual se está desarrollando a través de las etapas convenientes. En otras palabras, de inicio, debemos tener un panorama global del tema que nos interese divulgar y, que nos conduzca a su origen germinal y desarrollo epistemológico, para de esta manera, poder implementar mecanismos adecuados para su aplicación en la resolución de problemas del MR. por consiguiente, con el propósito de prepararnos para el estudio de los números complejos, analicemos una pequeña área de las ciencias de la matemática educativa.

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