Trabajo Colaborativo 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD

ACTIVIDAD No. 6. TRABAJO COLABORATIVO No.1

presentado por:

DIRECTOR Y TUTOR:

OSCAR DIONISIO CARRILLO RIVEROS

BOGOTA, ABRIL 2013

INTRODUCCION

Este trabajo desarrolla las habilidades en sucesiones sus caracteristicas como si son sucesiones monotonas, crecientes, decrecientes, sus cotas superiores e inferiores; tambien en progresiones por medio de tres problemas en donde se muestran las progresiones geometricas y aritmeticas.

Inicialmente cada participante desarolla de manera individual los diferentes problemas y ejercicios propuestos, luego se discute en grupo y con asesoria del tutor acerca de las soluciones planteadas para finalmente construir un solo trabajo en grupo.

OBJETIVOS

Objetivo General:

Desarrollar habilidades matematicas frente al tema de sucesiones y progresiones.

Objetivos Especificos:

Analizar las sucesiones sus caracteristicas como si son sucesiones monotonas, crecientes, decrecientes, sus cotas superiores e inferiores.

Solucionar problemas en donde se muestran las progresiones geometricas y aritmeticas.

Identificar regularidades, para poder determinar términos generales.

Aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES

FASE 1

Halle los terminos generales de las sucesiones:

Cn= {3,1,-1,-3,-5,……}

-2 -2 -2 -2

C_0=3= -2*1+5=3

C_1=1= -2*2+5=1

C_2=-1=-2*3+5=-1

C_3= -3= -2*4+5= -3

C_4= -5= -2*5+5= -5

Termino General: Cn= 5-2n

Cn= {1,3,9,27,81,…}

3¹ 3² 3^(3 ) 3^4

C_0=1=3^(1-1) =3^0=1

C_1=3= 3^(2-1) =3^1=3

C_2=9=3^(3-1) =3^2=9

C_3= 27=3^(4-1) =3^3=27

C_4= 81= 3^(5-1) =3^4=81

Termino General: Cn= 3^(n-1)

Cn= { 1/2, 3/4, 1, 5/4, 3/2,.......}

1/4 1/4 1/4 1/4

C_0= 1/2= (1+1)/4= 1/2

C_1= 3/4= (2+1)/4= 3/4

〖 C〗_2=1= (3+1)/4=1

〖 C〗_3= 5/4= (4+1)/4= 5/4

〖 C〗_4= 3/2= (5+1)/4= 3/2

Termino General: Cn= ((n+1))/4

FASE 2

Sucesiones monotonas.

Demostrar que la sucesion On= { 2n/(n+1)} es estrictamente creciente.

Lo primero a realizar es reemplazar n por 1, 2, 3, 4 y 5 para saber como se comporta luego la graficaremos.

O0= { (2(1))/(1+1)}=2/2=1

O1= { (2(2))/(2+1)}=4/3=1.3333

O2= { (2(3))/(3+1)}=6/4=3/2=1.5

O3= { (2(4))/(4+1)}=8/5=1.6

O4= { (2(5))/(5+1)}=10/6=5/3=1.66667

Los primeros 5 numeros para saber a donde tiende:

On={1, 4/3, 3/2 , 8/5, 5/3,.......}

Reemplazando con un n=100

O100= { (2(100))/(100+1)}=200/101=1.98019802

Graficamente:

Se observa que cada termino es mayor al anterior osea que se cumple a_(n+1)>a_n.

Por lo tanto es estrictamente creciente.

Analíticamente:

(2(n+1))/((n+1)+1) - 2n/(n+1) > 0

(2n+2)/(n+2) - 2n/(n+1) > 0 (efectuando el producto en el numerados y agrupando en el denominador)

((2n+2)(n+1) - (n+2)(2n))/((n+2)(n+1)) > 0 (indicando la resta de fracciones que se va a realizar)

((〖2n〗^2+2n+2n+2) - (〖2n〗^2+4n))/((n^2+ n+2n+2) ) > 0 (efectuando los productos indicados)

((〖2n〗^2+4n+2) - (〖2n〗^2+4n))/((n^2+3n+2) ) > 0 (agrupando términos semejantes)

(〖2n〗^2+4n+2-〖2n〗^2- 4n)/(n^2+3n+2) > 0 (Destruyendo paréntesis, teniendo en cuanta que un negativo antes de un paréntesis, cambia de signo a los términos que se encuentren dentro de él)

(Cantidades iguales con signos diferentes se cancelan)

Teniendo en cuenta que los valores que puede tomar n son positivos, ya que el domino de toda sucesión son los números naturales, y además que todos los términos de la fracción que obtuvimos finalmente son positivos, es fácil comprender que la fracción es mayor que cero, independientemente del valor que tome n, por tanto queda demostrado que la sucesión es estrictamente creciente.

Demostrar que es o_(n={1/n} ) es estrictamente decreciente.

o_(0={1/n}=1/1=1)

o_(1={1/n}=1/2=0.5)

o_(2={1/n}=1/3=0.3333)

o_(3={1/n}=1/4=0.25)

o_(n={1/n}=1/5=0.2)

Los primeros 5 numeros para saber a donde tiende.

o_(n={1,1/2,1/3,1/4,1/5,……} )

Si se toma un termino digamos 100

o_(n={1/100}=0.01)

Graficamente:

Se observa que cada termino es menor al anterior osea que se cumple a_(n+1)<a_n.

Por lo tanto es etrictamente decreciente.

Analíticamente:

Tener en cuenta que: Una sucesión es estrictamente decreciente si 0n+1 < On o, lo que es lo mismo: On+1 - On < 0

1/(n+1) - 1/n < 0

(n -(n+1))/(n(n+1)) < 0 (indicando la resta de fracciones que se va a efectuar)

(n -n- 1)/(n^2+n) < 0 (suprimiendo paréntesis en el numerador y efectuando el producto en el denominador)

(Cantidades iguales con signos diferentes se cancelan)

La fracción resultante es negativa, por lo que independientemente de los valores que tome n, la fracción será negativa,

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