Trabajo Colaborativo 2 Ecuaciones Difetenciales

INTRODUCCION.

Este trabajo es realizado con el fin de darle aplicación a los diferentes procedimientos que se deben utilizar en cada uno de los ejercicios propuestos para apropiarnos de los conceptos del curso para beneficio en nuestra formación profesional.

Las ecuaciones diferenciales responden en su mayor parte a la necesidad de obtener valores numéricos en ciertas magnitudes, para darle una respuesta más confiable a cualquier inconveniente que se presenta a diario en nuestro campo de trabajo independiente de la industria.

Por este motivo son fundamentales las aplicaciones matemáticas en las cuales se resuelven varias incógnitas en las que podemos identificar variables que son dependientes siendo funcionales en la profesión que estamos desarrollando basados en las leyes que se forman de las ecuaciones diferenciales.

Tanto en el campo de la ingeniería como en muchas otras áreas del saber se presentan situaciones que deben ser modeladas con el empleo de las ecuaciones diferenciales, ya sean de segundo orden o de orden superior, pues son muchas las aplicaciones que se dan a este tipo de ecuaciones. Es aquí donde radica la importancia de aplicar las técnicas y de desarrollar las competencias necesarias para resolver este tipo de ecuaciones.

Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden, tienen una importancia fundamental en la matemática y para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones.

ACTIVIDAD No. 1

El trabajo colaborativo 2 está compuesto con los siguientes ejercicios donde los participantes del grupo los deben desarrollar realizando los aportes pertinentes:

1. Resuelva la ecuación diferencial utilizando la ecuación de Bernoulli.

dy/xd+1/x y=x^3 y^3

dy/xd+1/x y=x^3 y^3 divido por y^3

y^3 dy/dx+ 1/x y^(-2)= x^3 si u= y^(-2) (1)

du/dx= -2y^(-3) dy/dx

- 1/2 du/dx =y^(-3) dy/dx

Remplazando en (1)

-1/2 du/dx+1/x u=x^3 du/dx -2/x u=x^3 (-2)

p(x)=-2/x f(x) 〖-2x〗^3

d/dx [e^∫▒〖p(x)dx〗 u]= e^∫▒p(x)dx f(x)

d/dx [e^∫▒〖-2/x dx〗 u]= e^∫▒〖-2/x dx〗 (〖-2x〗^3 )

d/dx [e^(-2lnx) ]=〖-2x〗^3 e^(-2lnx)

d/dx [e^(〖lnx〗^(-2) ) u]=-2xe^(〖lnx〗^(-2) )

d/dx [x^(-2) u ]= 〖-2x〗^3 x^(-2) → d/dx [x^(-2) u ]= -2x ahora integramos

∫▒〖d/dx [x^(-2) u ]= -2∫▒〖x dx〗〗

x^(-2) u= 〖2x〗^2/2+c x^(-2) u=-x^2 u+c

u=x^2/x^2 +c x^2 u= 〖-x〗^4+cx^2 u=y^(-2)

y^(-2)=〖-x〗^4+cx^2 y^2=1/(〖cx〗^2-x^4 )

y=1/√(〖cx〗^2-x^4 )

2. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes y resuélvalas.

〖 (A) y〗^''+y^'+y=0 homogenea

solucion de ecuacion caracteristica

m^2+m+1=0 m=(-1±√(1-4))/2= (-1±√3i)/2

m_1= (-1+√3i)/2 m_2= (-1-√3i)/2

solucion imaginaria

solucion de la forma

y=C_1 e^(-1/2+√3/2 i)x + C_2 e^(-1/2-√3/2 i)x

y=C_1 e^(-(1 )/2 x ) [e^(√3/2 ix) +e^(-√3/2 x) ]

solucion real

y=C_1 e^(-(1 )/2 x) [cos⁡〖√3/2 x+sen √3/2〗 x]

(B) y^''-y^'-2y=0 homogenea

m^2-m-2=0 (m-2)(m+1)=0 m_1=2 m_2=-1

solucion de la ecuacion

y=C_1 e^(m_(1 x ) )+C_2 e^(m_(2 x ) )

y=C_1 e^2x+C_2 e^(-x)

〖(C) y〗^[3] +y^[2] -5y^'+3y=0 homogenea lineal

m^3+m^2-5m+3=0 m=1 es solucion

por division sintetica

(1 1 -5 3 )⁄1

(1 2-3)/( 1 2 -3 0 )

(m-1)(m^2+2m-3)=0 (m-1)(m+3)(m-1)=0

hay dos soluciones reales m_1=m_2 y una real diferente m_3=-3

y=C_1 e^m1x+C_2 e^m2x+C_3 e^m3x

y=C_1 e^x+C_2 xe^x+C_3 e^(-3x)

(D) y^''-y=2 ecuacion no homogenea (1)

m^2-1=0 (m-1)(m+2)=0 m_1=1 m_2=-2

dos soluciones reales diferentes

y=C_1 e^m1x+C_2 e^m2x

y=C_1 e^x+C_2 e^(-2x) como f(x)=2 la solucion seria yp=A

〖y_p〗^'=0 〖y_p〗^''=0

reemplazando en (1)

0-A=2 A=-2 y_p=-2

la solucion

y=C_1 e^x+C_2 e^(-2x)-2

3.Demostrar que (a) y (b) son linealmente independientes y que son solución de la siguiente ecuación diferencial

(a) 〖sen〗^3 x (b) 1/(〖sen〗^2 x)=csc^2 x

y_1= 〖sen〗^3 x y_2= 〖csc〗^2 x

y^(´´)+tan x dy/dx-6(〖cot〗^2 x)y=0

f(x)=〖sin 〗^3 ;g(x)= 1/(〖sin〗^2 x)

W (f,g)(x)= |█(f(x) g(x)@f^´ (x) g^´ (x))|= |█(〖sin 〗^3 1/(〖sin〗^2 x)@〖3sin〗^2 x cos (x) (-2 cos x)/(〖sin 〗^3 x) )|

W (f,g)(x)= [〖sin 〗^3 x . (2 cos x)/(〖sin 〗^3 x)] - [-3〖sin 〗^2 x . ( cos x)/(〖sin 〗^2 x)]

W (f,g)(x)= 2 cos x + 3 cos x = 5 cos x

como W (f,g)(x)= 5 cos x es ≠0 son linealmente independientes.

Comprobacion de a):

〖y= sin 〗^3 x

〖 dy/dx 3sin 〗^2 x cos x

〖 (d^2 y)/(dx^2 ) = 3sin 〗^2.(-sen x)+3 (2 sin x cos x) .cos x

〖 (d^2 y)/(dx^2 ) = -3sin 〗^3 x +6 (sin x 〖cos〗^2 x)

y^(´´)+tan x dy/dx-6 ( 〖cot〗^2 x)y=0

Remplazando en

〖 ( -3sin 〗^3 x +6 sin x. 〖cos〗^2 x)+ (sen x)/(cos x) (〖 3sin 〗^2 x.cos x)-6( (〖cos〗^2 x)/(〖sen〗^2 x)) 〖sen〗^3 x =o

〖 ( -3sin 〗^3 x +6 sin x. 〖cos〗^2 x)+3 〖sen〗^3 x -6 〖cos〗^2 x. sin x =o

0=0 ; Comprobado para a).

Ahora Comprobacion de b):

y =1/(〖sin〗^2 x)

〖 dy/dx = (- 2 sin x . cos x)/(〖sin〗^4 x)= (-2 cos x)/(〖sin〗^3 x) 〗^

〖 (d^2 y)/(dx^2 ) =((〖sin〗^3 x .2 sin x)-(-2cos x .〖3sin〗^2 x cos x )/(〖sin〗^6 x)

...