Transformaciones De R3 En R3

Transformaciones lineales de R3 en R3

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Una transformación del espacio T: R3 R3 es una relación que asigna a cada vector de R3 un único vector R3. T (B):{T(x): x E B}

-Proyecciones de líneas

Sea U=(a, b, c) un vector en el espacio (a, b, c)(0, 0, 0). La proyección Pu: R3 R3 en la recta generada por U que pasa por el origen y u se define por:

x = ■(x@y@z) v = ■(a@b@c) Pu(x)=(x∙u)/‖v‖^2 v

■((a^2 x)/(a^2+b^2+c^2 )&aby/(a^2+b^2+c^2 )&acz/(a^2+b^2+c^2 )@abx/(a^2+b^2+c^2 )&(b^2 y)/(a^2+b^2+c^2 )&bcz/(a^2+b^2+c^2 )@acx/(a^2+b^2+c^2 )&bcy/(a^2+b^2+c^2 )&(c^2 z)/(a^2+b^2+c^2 )) = ■(a^2/k&ab/k&ac/k@ab/k&b^2/k&bc/k@ac/k&bc/k&c^2/k)

Ejemplo:

Recta: (1, 2, 3) U= (1, 2, 3) X= (4, 5, 6)

■(1/14∙4&2/14∙5&3/14∙6@2/14∙4&4/14∙5&6/14∙6@15/14∙4&6/14∙5&9/14∙6)

-Reflexiones respecto a líneas

El efecto espejo es extensible a 3D.

Reflexión c/r a un plano arbitrario se obtiene por combinación de traslaciones, rotaciones y reflexiones básicas.

Plano x = 0 Plano y = 0 Plano z = 0

-Rotaciones respecto a x, y, z.

Para generar una transformación de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girará el objeto, y la cantidad de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).

Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier línea en el espacio. Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a los ejes de coordenadas.

Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen de coordenadas.

Rotación con respecto a un eje arbitrario es una descomposición de rotaciones simples con respecto a los tres ejes principales.

Con las transformaciones de matrices R1, R2 y R3, se rota un ángulo q alrededor del eje x, y, z respectivamente.

-Traslaciones respecto a x, y, z.

La translación de un objeto consiste en moverlo cierta distancia, en una dirección determinada. Se traslada un punto de la posición P = (x, y, z) a la posición P’ = (x’, y’, z’) con la operación de matriz P’ = T x P donde P y P’ son vectores columna como matrices, la matriz

y tx, ty y tz especifican las distancias de traslación en x, y y z.

Para la traslación de un punto (x, y, 1) una distancia tx en x y una distancia ty en y, obtenemos:

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