Vectores en R2 y R3

Vectores en R2 y R3

Magnitudes escalares y vectoriales

Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real. Tales magnitudes se llaman escalares, y pueden ser representadas sobre la recta real mediante un número que indica su medida.

Para otras magnitudes, en cambio, no es suficiente dar un número para determinarlas. Para la velocidad en un punto, por ejemplo, no basta conocer su intensidad, sino que hace falta conocer además la dirección y el sentido con que el punto se mueve.

Lo mismo que con la velocidad ocurre con la fuerza, con el campo eléctrico, etc. Son magnitudes en las que su efecto depende no sólo de la intensidad sino también de la dirección y sentido en que actúan.

Estas magnitudes en las que hay que distinguir su intensidad (que es una magnitud escalar), su dirección y su sentido, se llaman magnitudes vectoriales. Otros ejemplos son: la aceleración, la cantidad de movimiento, el campo magnético, el flujo de calor o de materia, etc.

Las magnitudes vectoriales ya no se pueden representar, como los escalares, por puntos sobre una recta. Hay que tomar segmentos de una dada longitud (indicadora de su intensidad) a partir de un punto fijo, los cuales tengan la dirección y sentido correspondientes.

Vectores.

Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando esos puntos están dados en un cierto orden, se dice que el segmento está orientado. Se llama vector a todo segmento orientado. El primer punto es el origen y el segundo, el extremo del vector.

Se llama módulo de un vector a la longitud del segmento que lo representa, que es proporcional a la intensidad de la magnitud representada. El módulo es una cantidad escalar siempre positiva. Si A es el vector que tiene origen en O y extremo en P, su módulo representa la distancia entre los puntos O y P y se expresa de cualquiera de las tres siguientes maneras:

mod A =

→

A = OP

Cuando el módulo de un vector es nulo, el segmento se reduce a un punto y no puede hablarse de vector pues carece de dirección y sentido. Sin embargo, se conviene en definir el vector nulo como aquél de módulo cero.

Para indicar un vector se usa con frecuencia una flecha encima:

→

o bien OP .

Dos vectores se dicen iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores A y B de la figura, ubicados sobre rectas paralelas, son iguales, A=B. Con este criterio de igualdad, todos los vectores pueden ser trasladados a un mismo origen. Dos vectores se dicen opuestos cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos. Los vectores A y C son opuestos y se indican A=-C.

A B C

Componentes de un vector

Supongamos que los puntos P1( x1, y1) y P2 ( x2 , y2 ) en R2 representan el origen y el extremo

→

de un vector A= P1P2 . Se llaman componentes de A a las proyecciones de A sobre los ejes:

ax = x2 − x1 ,

a y = y2 − y1

y

P2

y2

ay

A

y1 P1

ax

x1 x2 x

En general, un vector A en R2 se indicará por medio de sus dos componentes en la forma

A(ax , a y ) . De la figura resulta que el módulo de A y sus componentes verifican:

A = a =

ax2 + a y2

→

Si el problema es en R3, los puntos que representan el origen y el extremo del vector A= P1P2

se indican P1 = ( x1 , y1 , z1 ) (en azul) y

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ) (en violeta). Las componentes de A,

es decir, las proyecciones de A sobre los ejes son:

a x = x2 − x1 ,

a y = y2 − y1 ,

az = z2 − z1

z

A P2 az

z2

P1 ax

z1 ay

x1 y1 y2 y

x2

x

En general, escribiremos A (a x , a y , az )

para indicar las componentes de A. De la figura

resulta que el módulo de A y sus componentes verifican:

A = a =

a x 2 + a y 2 + a z 2

La distancia d entre los puntos P1 y P2 se calcula a partir de las coordenadas de ambos puntos en la forma

d = ( x2 − x1)2

+ ( y2 − y1)2

+ ( z2 − z1)2

y en forma análoga en R2.

Dos vectores opuestos tienen sus componentes de igual valor absoluto pero de signos contrarios.

Cosenos directores de un vector

Se llaman cosenos directores de un vector respecto de un sistema de coordenadas ortogonales, a los cosenos de los ángulos que forma el vector con el sentido positivo de cada uno de los ejes coordenados. Los ángulos se toman entre 0 y π, de modo que los cosenos directores pueden ser positivos o negativos.

En R2, si los ángulos del vector A=(ax , ay ) con los ejes x e y son respectivamente α y β, los cosenos directores

β ay

α

a

Adición y sustracción de vectores

Para sumar dos vectores A y B, ya sea en el plano como en el espacio tridimensional, se representa B a continuación de A,

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