Ensayo sobre los espacios R2 y R3

Universidad Nacional de Trujillo

Análisis matemático I

Ensayo

Subconjuntos de los espacios  y .[pic 1][pic 2]

Alumno:

Tamayo Rios, José Antonio

Trujillo 18 de septiembre del 2021

La matemática es una herramienta que el hombre a desarrollado para resolver los distintos problemas que surgen en la realidad. Inicialmente necesitábamos contar frutos o semillas, así se empezaron a crear los números naturales, luego se necesitaba de números que expresen la razón entre dos magnitudes y surgieron los racionales. Como podemos notar, con base en los problemas de la realidad el hombre, ayudado de la matemática, iba construyendo soluciones.

¿Cuál es el motivo por el que el hombre necesitó construir los espacio  y ? Basta con mirar nuestro entorno, si salimos a las calles veremos autos transitando a determinada rapidez y en cierta dirección, tal vez una pelota ser golpeada estrepitosamente en un partido de fulbito; así, podemos notar dos cosas fundamentales: la dirección en que se mueven los autos o la dirección hacia donde es pateada la pelota y la fuerza con la que es pateada la pelota o la rapidez con la que van los autos. Entonces, ya no nos basta solo con un número para describir los fenómenos que encontramos abundantemente en la realidad, necesitamos más herramientas para poder describirlos satisfactoriamente. [pic 3][pic 4]

Si bien ya sabemos que necesitamos construir algo, aún no hemos esclarecido completamente qué es ese algo y qué propiedades debe tener. Primeramente, comencemos construyendo el espacio vectorial . Supongamos que tenemos una mesa perfectamente lisa y sobre ella varias canicas. Sabemos que si golpeamos a una canica esta empezará a moverse, y por la ley de inercia, seguirá moviéndose a menos que sobre ella actúen otras fuerzas. ¿Qué pasa si a esa canica en movimiento la golpeamos otra vez en otra dirección? Pues si ese nuevo golpe es mucho más fuerte que el inicial, la dirección de la canica se modificará de manera que esté más pegada a la dirección del nuevo golpe, si el nuevo golpe tiene una fuerza similar a la inicial, entonces la canica tendrá una dirección intermedia entre la dirección de los dos golpes. Otra cosa por notar es que, si en lugar del golpe inicial a la canica le diéramos un golpe el doble de fuerte, la rapidez de la canica será el doble de rápida. Por último, para ubicarnos en la mesa necesitaremos dos cosas: un punto de referencia y dos componentes que nos indiquen arriba o abajo e izquierda o derecha. [pic 5]

Siguiendo estas propiedades intuitivas que hemos dado, podemos construir de manera rigurosa el espacio . [pic 6]

Como necesitábamos de dos componentes para ubicarnos, entonces necesitaremos de pares ordenados, cuyas componentes serán números reales, así, formaremos el producto cartesiano . Luego, mencionamos la interacción entre dos fuerzas sobre un cuerpo, para describir esta interacción necesitaremos una operación binaria en . Así, definiremos , de manera que . Verifiquemos algunas propiedades de esta operación binaria: [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

• La operación  es conmutativa. En efecto, . [pic 11][pic 12]
• La operación  es asociativa. En efecto, .[pic 13][pic 14]
• Existe un elemento neutro bajo la operación . En efecto,  será el elemento neutro si y solo si  para todo . Se sabe que , resolviendo el sistema se tendría que [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
• Para todo elemento  existe su inverso  de manera que . En efecto, sea  y , entonces , resolviendo el sistema se tendría que .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

También necesitaremos de otra operación interna, la cual definiremos de la siguiente manera: , de manera que . Verifiquemos algunas propiedades de esta operación interna: [pic 28][pic 29]

• Existe un elemento neutro  tal que  para todo . En efecto, sea , se debe cumplir que , lo cual se cumple para todo  si y solo si . [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
• La operación  es asociativa. En efecto, sean  y , se tiene que . [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Además, relacionando estas dos operaciones podemos verificar que se cumple la propiedad distributiva. En efecto, sean   y , se tiene que . También . [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

Con estas operaciones y sus propiedades, le damos una estructura a , de manera que si formamos la terna  tendremos un espacio vectorial, y a los elementos de  se les llamará vectores. [pic 45][pic 46][pic 47]

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