Vector en R2

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Universidad UTE

Sede Santo Domingo[pic 3]

Ciencias de la Ingeniería e Industrias

Ingeniería Ambiental e Ingeniería Electromecánica

Docente:

Ing. Marco Cujilema

Tema:

Vector en R2 y más temas en delante

Autores:

Karla Paulina Loaiza Pizarro

Juan Diego Manzano Mora

Fecha de inicio:

28/12/2021

Fecha de entrega:

04/01/2022

OCT 2021 – FEBR 2022

INTRODUCCI’ÓN

    El enfoque principal de este trabajo serán los vectores en R2, apoyándonos en conceptos básicos de geometría analítica y trigonometría.

    El cálculo vectorial facilita una notación clara y precisa al representar ecuaciones matemáticas que nos sirven de referente ante distintas situaciones físicas; también ayuda de manera significativa a formar mentalmente la imagen de conceptos físicos. Por ejemplo, la masa, temperatura y longitud quedan perfectamente definidas con solo conocer el valor de su medida; las denominadas magnitudes escalares. Los vectores se representan por flechas en las que la magnitud y la dirección de la misma representa la dirección del vector.

   En otros casos, en cambio, para definirlas correctamente no es suficiente con conocer el valor absoluto de su medida; por ejemplo: la fuerza y la velocidad, denominadas magnitudes vectoriales.

Por ejemplo:

   Un nadador que nada contracorriente con una velocidad promedio de 3.3 Km/h, siendo la velocidad de la corriente 1.6 Km/h, no avanzara con una velocidad de 4.8 Km/h. En este caso los movimientos del nadador y la corriente son contrarios y, por lo tanto, la velocidad promedio del nadador es únicamente 1.6 Km/h. Si, por el contrario, el nadador avanza aguas abajo (a favor de la corriente), entonces su velocidad promedio es de 4.8 Km/h.

VECTORES

1. VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO.

    1.1.1 DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN R2 Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Previo a concretar una definición, debemos comprender:

Ayres y Mendelson (2010) afirma “Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen solo magnitud (valor numérico), se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, velocidad y la aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección, se denominan vectores” (p. 317). Entonces, podríamos decir que un vector es un ente matemático con origen, dirección, sentido y magnitud. Los vectores se representan geométricamente por segmentos de recta dirigidos (flechas) como se muestra en la figura.[pic 4]

• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo
• Dirección: La misma que tiene la recta sobre la cual está el vector (directriz).
• Sentido: Uno de los dos posibles que define su dirección, representado por la cabeza de la flecha.
• Magnitud: Valor numérico de la norma que representa, expresado por la longitud del vector.

1.1.2 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE VECTORES.

Dados los puntos P=           y Q=               de un plano determinan un segmento que se denota instintivamente PQ o QP. De los puntos “P” y “Q” se dice que son los extremos del segmento. Al denotar el segmento cuyos extremos son los puntos “P” y “Q”, no importa que extremo se escribe en primer lugar: se denota indistintamente PQ o QP.[pic 5][pic 6]

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1.2.1MODULO O NORMA DE UN VECTOR.

El módulo de un vector representa la distancia que hay desde su origen hasta su extremo. Por lo tanto, el módulo de un vector es igual a la longitud de dicho vector. 

• El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero

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Para determinar el módulo de un vector tenemos que calcular la raíz cuadrada (positiva) de la suma de los cuadrados de sus componentes. Es decir, si tenemos el siguiente vector:

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Ejemplo:

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• Encontrar el módulo del siguiente vector utilizando la fórmula:

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1.2.2 CALCULAR EL MÓDULO DE UN VECTOR CON LAS COORDENADAS DE SU ORIGEN Y SU EXTREMO

Primero hallamos las componentes del vector. Para ello, tenemos que restar el extremo menos el origen, luego calculamos el módulo del vector obtenido con la fórmula que hemos visto en el apartado anterior.

• Calcula el módulo del vector que tiene como origen el punto A (2,1) y como extremo el punto B (-1,4).

Primero tenemos que hallar las componentes del vector, así que restamos su extremo menos su origen:

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Una vez sabemos el vector, calculamos su módulo mediante la fórmula del módulo de un vector:

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1.2.3 OPERACIONES ENTRE VECTORES: SUMA, RESTA, PROPIEDADES. 

SUMA

La suma de vectores es la unión de vectores a través de juntar la parte delantera de un vector con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa. 

• El módulo de un vector es siempre mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando el vector es nulo, es decir, v = (0,0).

• Si λ es un número real, entonces

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• Dados dos vectores, el módulo de su suma cumple

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RESTA

Para realizar la resta de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica.

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