Una estación de servicio en un camino rural tiene sólo una bomba para despachar gasolina. Los automóviles llegan a comprar gasolina siguiendo un proceso Poisson

1. Una estación de servicio en un camino rural tiene sólo una bomba para despachar gasolina. Los automóviles llegan a comprar gasolina siguiendo un proceso Poisson, con una tasa promedio de 10 por hora. Aparentemente el tiempo necesario para dar servicio a un automóvil se distribuye exponencialmente, con una media de 2 minutos. En la estación caben un máximo de cuatro automóviles y las leyes locales de tránsito prohíben que los autos esperen en la vía pública. Determínese: a) el número promedio de automóviles que se encuentran simultáneamente en la estación; b) el tiempo promedio que un cliente debe esperar para obtener el servicio, una vez que logra entrar a la estación; c) la tasa promedio de pérdida de clientes, que se van a realizar su compra a otro lugar cuando la estación está llena.

2. Una compañía ferroviaria pinta sus propios vagones de ferrocarril según se van necesitando. La alternativa 1 consiste en proporcionar dos talleres de pintura en los que se pinta a mano (un vagón cada vez en cada taller), con un coste total anual de 300, 000. El tiempo de pintado para cada vagón es de seis horas (exponencial). La alternativa 2 consiste en proporcionar un taller de pintura aerosol que implica un coste anual de 400,000. En este caso, el tiempo de pintado por vagón (de nuevo uno a la vez) es de tres horas (también exponencial). Para ambas alternativas, los vagones llegan de acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 1 cada 5 horas. El coste por vagón inutilizado es de 50 $/hora. ¿Qué alternativa debe elegir la compañía ferroviaria? Suponga que los talleres de pintura siempre están abiertos, es decir, trabajan (24)*(365)=8,760 horas al año.

3. La Seabuck and Roper Company cuenta con una gran bodega en el sur de California para almacenar su inventario de bienes hasta que requieren en las diversas mueblerías del área. Se emplea una sola cuadrilla con cuatro miembros para descargar y cargar cada camión que llega a la plataforma de carga de la bodega. Actualmente, la administración está reduciendo sus costos, de modo que se debe tomar una decisión acerca del tamaño futuro de esta cuadrilla.

Los camiones llegan en forma aleatoria a una tasa media de uno por hora. El tiempo requerido por una cuadrilla para descargar o cargar un camión tiene una distribución exponencial (independiente del tamaño de la cuadrilla). La media de esta distribución con la cuadrilla de cuatro integrantes es 15 minutos. Si se cambiara el tamaño de la cuadrilla, se estima que la tasa media de servicio (ahora =4 clientes por hora) sería proporcional a su tamaño.

El costo de proporcionar cada miembro de la cuadrilla es $20 por hora. El costo atribuible a tener un camión sin usar (es decir, parado en la plataforma de descarga) se estima en $30 por hora.

a) Identifique los clientes y servidores de este sistema de colas. ¿Cuántos servidores tiene?

b) Encuentre las medidas de desempeño de este sistema de colas con cuatro miembros en la cuadrilla.

c) ¿Debe de considerarse también una cuadrilla de una persona? Explique.

d) ¿Qué tamaño de cuadrilla cree que deba elegir la administración?

e) Use las cifras de costos para determinar qué tamaño de cuadrilla minimizaría el costo total esperado por hora.

4. El departamento para caballeros de un gran almacén tiene a un sastre para ajustes a la medida. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución Poisson con tasa media de llegadas de 24 por hora. Los ajustes se realizan con un orden del tipo primero en llegar, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar, ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que toma realizar el ajuste para un cliente se distribuye de manera exponencial con media de 2 minutos. A) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la sala de ajustes?; b) ¿cuánto tiempo de permanencia en la sala de ajustes debería planear un cliente?; c) ¿qué porcentaje del tiempo permanece ocioso el sastre?; d) ¿cuál es la probabilidad de que un cliente espere

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