Unidad 1: Funciones, límites y continuidad.

Universidad Abierta y a Distancia de México.[pic 1][pic 2]

Materia: Cálculo Diferencial.

Grupo: ER-ECDN-1802-B1-001

Unidad 1: Funciones, límites y continuidad.

Actividad 2: Funciones (2).

Estudiante: Nuria María Banda Hernández.

Agosto 01, 2018.

Introducción

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera.  En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, en general, consta de un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo común consta de un intervalo completo de números o, en algunos casos, la unión de tales intervalos.

Las funciones se clasifican de acuerdo con la información que se puede obtener de ellas: por su representación, pueden ser algebraicas o trascendentes; por la forma de sus gráficos: continuas o discontinuas; por su monotonía: crecientes o decrecientes.

Si se tienen las funciones f(x) y g (x) mediante algunas operaciones entre ellas es posible obtener otras funciones.

Analicemos cada una de ellas:

• La suma está definida como (𝑓+𝑔) (x)= 𝑓 (x) + 𝑔 (x).
• La diferencia se define como (𝑓-𝑔) (x)= 𝑓 (x) - 𝑔 (x).
• El producto está definido como (𝑓·𝑔) (x)= 𝑓 (x) ·𝑔 (x).
• El cociente se define como  (x)= [pic 3][pic 4]

Desarrollo

1. Resuelve los siguientes ejercicios de desigualdades de números reales:

• Desigualdad 2𝑥 –7<4𝑥− 2 y muestra la gráfica de su conjunto de solución.

Para encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos las propiedades de las desigualdades y de los intervalos. Para ello despejamos la x de la parte izquierda de la desigualdad.

Primero sumamos 7 a ambos lados de la desigualdad (usando la propiedad 3 con c= +7)

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Luego restamos 4x de ambos miembros (usando la propiedad 3 con c= -4x):

Después multiplicamos ambos miembros por (-1/2) (propiedad 5 con c= -1/2). Al multiplicar por el número negativo cambiamos el orden de la desigualdad.  

[pic 6]

2𝑥 –7<4𝑥− 2

2𝑥 –7 + 7 < 4𝑥 − 2 + 7

2𝑥 <4𝑥 + 5

2𝑥 − 4x <4𝑥 − 4x + 5

−2𝑥 < 5

() (−2𝑥) > () (5)[pic 7][pic 8]

𝑥 > [pic 9]

Por lo tanto, el conjunto solución está formado por todos los números mayores que -5/2. En otras palabras, la solución de la desigualdad es el intervalo ( , +∞). La representación gráfica de la solución se muestra debajo.[pic 10]

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• –5≤2𝑥+6<4 muestra la gráfica.

En este caso tenemos una doble desigualdad en la que sólo en la parte intermedia aparece la variable x. La solución consta de todos los valores de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla despejaremos la variable x en la parte media de la desigualdad aplicando las propiedades de las desigualdades y de los intervalos.

Primero restamos 6 a toda la desigualdad, usado la propiedad 3.

Enseguida multiplicamos por (1/2) toda la desigualdad utilizando la propiedad 5.

–5≤2𝑥+6<4

–5 –6 ≤2𝑥+6 –6 <4 –6

–11≤2𝑥<–2

() (−11) ≤ () (2x) < () (–2)[pic 15][pic 16][pic 17]

()  ≤ x <–1[pic 18]

De esta manera tenemos que la solución está formada por todos los números x mayores o iguales que -11/2 y menores que -1. En otros términos, la solución está dada por el intervalo ( , -1). La representación gráfica de la solución se muestra debajo.[pic 19]

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• Desigualdad cuadrática 𝑥2–𝑥<6 muestra la gráfica.

Primero pasamos todos los términos distintos de cero a la izquierda de la desigualdad y factorizamos.

𝑥2–𝑥<6

Pasamos el 6 restando y se tiene 𝑥2–𝑥-6<0. Factorizamos esta expresión y tenemos (x-3) (x+2) < 0. Observamos que para x=3 y x=-2 estos factores son cero. Estos números a los que les llamaremos puntos de separación dividen la recta en tres intervalos.

[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Estos intervalos son (-∞, -2), (-2, 3) y (3, +∞). En cada uno de estos intervalos el producto (x-3) (x+2) tiene signo positivo o negativo. Para encontrar el signo de este producto en cada intervalo tomaremos un valor de prueba en cada uno de los intervalos. Los valores que tomaremos son: -4, 0, 5.

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A continuación, remplazamos los puntos de prueba en (x-3) (x+2), con la intención de buscar para que valores de x este producto es negativo.

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