Unidad II Derivadas

Unidad II

Derivadas:

m=                                                    (1)[pic 1][pic 2]

u=                                                               (2)[pic 3][pic 4]

Definimos la pendiente de la tangente a una curva con ecuación y=f(x) en el punto donde x=a tal como se representó en (1).

La velocidad de un objeto con función de posición s=f(t) en el instante t=a es (2)

Los límites de la forma          tienen su origen cuando se calcula la rigidez de cambio de la ingeniería como en el caso de la velocidad de reacción en la química, o en el costo marginal en economía. Dada la frecuencia con que se presenta este tipo de límite, se le da un nombre y una notación especiales. [pic 5][pic 6]

Definición: La derivada de una función f es un número a denotada con f´(a) (f prima de a) es

f´(a)=          Si este límite existe[pic 7][pic 8]

Si escribimos x=a+h, entonces h=x-a y h->0 si y solo si, x->a, por lo tanto, una manera equivalente de enumerar la definición de la derivada como se hace al hallar rectas tangentes es

f´(a)=          (4)[pic 9][pic 10]

Ejemplo 1

Encuentre la derivada de la siguiente función

F(x)=x2-8x+9 en el número a

f´(a)=       [pic 11][pic 12]

      [pic 13][pic 14]

      [pic 15][pic 16]

      = 2a+h-8= 2a-8[pic 17][pic 18]

Esto nos da como consecuencia:

Razón de cambio instantáneo=      [pic 19]

=      [pic 20][pic 21][pic 22]

A partir de la ecuación 4 reconocemos este límite como la derivada de f en x1; es decir f´(x1).

Esto da una segunda interpretación de la derivada:

´´ La derivada f´(a) es la razón instantánea de cambio de y= f(x) con respecto a (x) cuando x=a´´

La conexión con la primera interpretación es que si graficamos la curva y=f(x), entonces la razón instantánea de cambio es la pendiente de la tangente a esta curva en el punto donde x=a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y por lo tanto, la curva esta empinada, como en el punto P de la siguiente figura), los valores y cambian con rapidez. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y.[pic 23]

   y        Q[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

                                    y= f(x)

          P[pic 28]

[pic 29]

                                                  x

° Los valores “y” cambian con rapidez en P y con lentitud en Q

En particular si S= f(t) es la función de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces f´(a) es la razón de cambio del desplazamiento (s) con respecto al tiempo (t), f´(a) es la velocidad de la partícula en el instante t=a. La rapidez de la partícula es la magnitud de la velocidad, es decir, |f´(a)|. La posición de una partícula se da con la ecuación del movimiento S= f(t)=1/1+t donde t= tiempo y s= metros

Encuentra la velocidad y la rapidez después de 2 segundos

V=?-  m/s                           f´(a)=          [pic 30][pic 31][pic 32]

R=?-  m/s                            f´(a)=          [pic 33][pic 34][pic 35]

t=2 segundos

 -  =  =  =  [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

= =  = -  m/s[pic 41][pic 42][pic 43]

Conjunto {x|f´(x) existe} y puede ser menor que el dominio f

[pic 44]

Derivada como función

La derivada de una función f en un número fijo a f´(a)=         en este punto cambiamos nuestro punto de vista y hacemos que el número a varié. Si en la ecuación anterior reemplazamos a con una variable x, obtenemos lo siguiente. F(x) =          [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Dado cualquier número x para el cual este límite exista, asignamos a x en el número f´(x) de modo que podemos considerar f´ como una nueva función, llamada derivada de f y definida por la ultima ecuación.

Sabemos que el valor f´ en x se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x,f(x)).

La función f´ se conoce como derivada de f, porque se ha derivado de f por medio de la operación de hallar el límite en la última ecuación vista. El dominio de f´ es el

1. Si f(x) = -x3-x encuentre una fórmula para f´(x)
2. Ilustre comparando las gráficas f y f´

f´(x) =          [pic 49][pic 50]

         =[pic 51][pic 52]

       =   [pic 53][pic 54]

    h   =[pic 55][pic 56]

      = 3x2 -1[pic 57][pic 58]

[pic 59]

Halle f´si f(x) = [pic 60]

f´(x)=  [pic 61][pic 62]

= [pic 63][pic 64]

 [pic 65][pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

Derivar [pic 75]

f´(x) =  = -2 (1) = [pic 76][pic 77][pic 78]

Derivar    (-x) = -1[pic 79]

  ( + 12- 4[pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

     (12) -  (4  ( -   (  (5)[pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

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