“El futuro que construimos juntos” Demostraciones

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Colegio Darío Salas Científico - Humanista Chillan Viejo

“El futuro que construimos juntos”

Demostraciones

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Chillán viejo, 22 de Septiembre de 2016

1. Índice

2. Introducción……………………………………………………………………………..4

3. ¿Qué es una demostración?.................................................................................5

3.1.1 Definición…………………………………………………………………………....5

  3.1.2 Contexto histórico………………………………………………………………....5

  3.1.3 Tipos de demostración…………………………………………………………...6

  3.2 Demostraciones Geométricas……………………………………………………...7

  3.3 Demostración por inducción……………………………………………………...10

  3.4 Demostración de la reducción al absurdo………………………………….….         11

4. Conclusión……………………………………………………………………………         12

5. Bibliografía/Linkografia……………………………………………………………….13                

2. Introducción

En la medida que el hombre ha ido evolucionando, acorde a sus necesidades, ha ido cambiando sus intereses y sus prácticas. La resolución de problemas ha sido siempre una necesidad básica y la capacidad  para resolverlos una diferencia entre sobrevivir y evolucionar o quedarse estancado en un mismo nudo.

Una vez alcanzado un buen grado de evolución, buscamos más que “sobrevivir”, vivir bien y con esto, viene otra clase de problemas como “construir un hogar”, ”cuanta comida será necesaria”  y una serie de problemáticas cotidianas, pero es cuando comenzamos a tener  problemas geométricos cuando se comenzó a querer “algo más” partiendo desde Egipto para la agricultura, buscando como repartir las tierras de forma ordenada y como construir las inmensas pirámides que están hasta hoy en día dejándonos perplejos con su arquitectura, así nace el interés por la matemática con los papiros y sus problemas resueltos acerca de triángulos, trapecios, círculos y áreas.

Más adelante, los griegos tuvieron estos mismos problemas, pero a diferencia de los egipcios, no se quisieron basar en inferencias o asumir simplemente un “porque si”, ellos buscaron basarse en un sistema lógico deductivo a partir de axiomas y postulados, que no sólo se aceptaban, sino que también debían ser comprobados, para convencer a los demás, dando origen así s lo que utilizamos para estos casos, la demostración.

3.1 ¿Qué es una demostración?

3.1.1 Definición

Es el conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de una proposición. Utiliza argumentaciónpor medio de otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o axiomas (afirmaciones generalmente aceptadas, del griego “axios” que significa valioso).Las demostraciones son ejemplos derazonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una demostración debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree verdadera se conoce como conjetura.

3.1.2 Contexto Histórico

La idea de demostrar una conclusión se mostró primero en conexión con la geometría, la cual originalmente significaba ‘medida de la tierra’. El desarrollo de la demostración matemática inició con Tales de Mileto (624-546 a. C.) quien fundo la geometría como sistema deductivo y “demostró” algunos teoremas en esta área buscando el convencimiento.Aristóteles (384-322 a. C.) dijo que las definiciones debían describir el concepto a definir en términos de otros conceptos ya conocidos. Euclides(300 a. C.), revolucionó las demostraciones matemáticas introduciendo el método axiomático que aún es empleado empezando por términos indefinidos y axiomas. Usaba estos para probar teoremas usando lógica deductiva. Su libro, los elementos, fue escrito con fines didácticos para la Universidad de Alejandríainfluyendo así en la formación de generaciones de estudiantes e inculcando a todos ellos unas ideas muy estrictas sobre el rigor y el método deductivo, influencia que puede extenderse a todos los estudiantes hasta épocas relativamente recientes, ya que sus textos de geometría han sido durante todo este período los propios elementos o adaptaciones resumidas de esta obra.

El desarrollo de la aritmética y el álgebra por los matemáticos Islámicos permitió demostraciones más generales que no dependían de la geometría. En el siglo X d. C, el matemático iraquí Al-Hashim dio a proveer demostraciones generales para números (más que demostraciones geométricas) al considerar multiplicación y división. Usaba este método para proveer una demostración de la existencia de números irracionales. Al-Karaji (en 1000 d.C) hizo la primera demostración inductiva para secuencias aritméticas, la utilizó para probar el teorema del binomio y propiedades del triángulo de Pascal. Más adelante Alhzen desarrolló la “demostración por contradicción” para probar el postulado euclidiano de las paralelas.

Actualmente las demostraciones se usan como estructuras de datos definidos inductivamente y ya no se asume que los axiomas sean ciertos, permitiendo crear teorías matemáticas paralelas en conjuntos alternos de axiomas.

3.1.3 Tipos de demostración

Demostración directa

En los libros de texto se suele leer:

“Si A, entonces B”

“Para que se cumpla B es suficiente que se cumpla A”

“B es una condición necesaria para que se cumpla A”

Se trata de demostrar que si se cumple la propiedad A, entonces se verifica B. Donde A se denomina hipótesis (condición suficiente) y B, se llama tesis oconclusión (condición necesaria). De la hipótesis se llega a la verdad de la conclusión, usando proposiciones cuya certeza se conoce previamente.Se establece al combinar lógicamente los axiomas, definiciones, y teoremas previos.

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