Lección 6: Ecuaciones con variables separables

Lección 6: Ecuaciones con variables separables

En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma:

Donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes:

  
1. Expresar la ecuación en forma diferencial: [pic 1]

  
De la siguiente ecuación: M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Despejando obtenemos: M(x) dx = - N (y) dy

2. Integrar para obtener la solución general:

  [pic 2] 

Despejando obtenemos:

[pic 3] 
 

Igualmente la ecuación por variables separables se define:

Definición: Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma: y' = f(x,y) se puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. Es decir una ecuación es de variables separables si y solo si se puede escribir de la forma: y' = g(x) p(y)

La forma de resolver las ecuaciones por variables separables es la siguiente:

1. Operamos por 1/p(y) ambos lados de la ecuación por tanto se tiene: (dy/dx)/p(y) = g(x)

2. Por conveniencia sustituimos h(y)= 1/p(y), luego h(y) (dy/dx) = g(x)

3. Se sigue el paso al otro lado de la igualdad el diferencial dx, entonces h(y)dy = g(x) dx

4. Se integra ambos lados de la igualdad por lo tanto:

5. Finalmente se obtiene: H(y) = G(x) +C

6. La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita.

Ejemplos de separación:

ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES

  [pic 4]

EJEMPLO

Hallar la solución general de: (x2 + 4) dy/dx = xy

Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y ¹ 0 y separamos las variables así:

  [pic 5]

[pic 6]

Como también es solución, podemos escribir la solución general como:

[pic 7] Solución general

Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explícita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución.

Ejemplo: [pic 8]donde y es diferente de 0

Donde la solución general es [pic 9].

Ejemplo

Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular.

y' + 2y = 2 Con la condición y= 1/2 si x = 4

Solución:

[pic 10]

Ejemplo

Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente y/x2

Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la curva entonces

dy/dx= y/x2

Separando variables e integrando se llega a

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