Ecuaciones Diferenciales Separables

Ecuaciones Diferenciales Separables

Ejercicio 1

𝑑𝑦

x[pic 2]

𝑑𝑥

= 𝑦

Realizamos transposición de términos y despejamos la ecuación de forma tal que cada variable quede con su diferencial.

𝑥𝑑𝑦  = 𝑦𝑑𝑥

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

𝑦  = 𝐶𝑥

Validamos que nuestra función si satisfaga nuestra ecuación diferencial.

𝑑𝑦

x[pic 13]

𝑑𝑥

= 𝑦

como 𝑦 = 𝐶𝑥 entonces la derivada

𝑑𝑦

[pic 14]

𝑑𝑥

= 𝐶 Reemplazamos en la ecuación diferencial xC= 𝑦 y nos

da igual que la función obtenida 𝑦 = 𝐶𝑥.

Ejercicio 2

𝑑𝑦

[pic 15]

𝑑𝑥

= 𝑦

Realizamos transposición de términos y despejamos la ecuación de forma tal que cada variable quede con su diferencial.

𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑦

= 𝑑𝑥

𝑦

Integramos a ambos lados

𝑑𝑦

∫

𝑦

= ∫ 𝑑𝑥

Resolvemos las integrales a ambos lados

𝑙𝑛𝑦 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2

𝑙𝑛𝑦  = 𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1

Unificamos una sola constante

𝑙𝑛𝑦 = 𝑥 + 𝐶

Aplicamos la definición de logaritmo 𝑙𝑛𝑏 = 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑒𝑎

𝑦  = 𝑒𝑥+𝐶

Aplicamos exponentes de igual base y obtenemos

𝑦  = 𝑒𝑥. 𝑒𝐶

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 obtenemos la función solución de la ecuación diferencial.

𝑦  = 𝐶𝑒𝑥

Validamos que nuestra función si satisfaga nuestra ecuación diferencial.

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 𝑦

como 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 entonces la derivada 𝑑𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 Reemplazamos en la ecuación diferencial 𝐶𝑒𝑥 = 𝑦[pic 16]

𝑑𝑥

y nos da igual que la función obtenida 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥.

Ejercicio 3 Para resolver

Ejercicio 4

𝒅𝒚

[pic 17]

𝒅𝒙

+ 𝟒𝒙𝒚 = 𝟎

𝒅𝒚 + 𝒆𝒙−𝒚= 0[pic 18]

𝒅𝒙

Por propiedades de potenciación 𝑒𝑥 = 𝒆𝒙−𝒚[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Ecuaciones Diferenciales Separables por factorización

Ejercicio 1

(𝒚𝒙 − 𝒚)𝒅𝒚 − (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎

Factorizamos y obtenemos

𝒚(𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 − (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎

Transponemos términos para ubicar las variables con cada diferencial[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Ejercicio 2

(1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥

Factorizamos la expresión del diferencial 𝑑𝑦

(1 + 𝑥2) + 𝑦2(1 + 𝑥2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥 (1 + 𝑥2)(1 + 𝑦2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥

Transponemos términos

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56][pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

𝒅𝒙 + 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

Algoritmo para saber si una ecuación diferencial es separable aplicando factorización

𝒅𝒚

[pic 67]

𝒅𝒙

= 𝒇(𝒙, 𝒚)

Ejemplo

𝒅𝒚 = 𝑥2 + 𝑥2𝑦2[pic 68]

𝒅𝒙

Necesitamos llevar a la ecuación original a este estado

𝒅𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚) a 𝒅𝒚 = 𝒈(𝒙). 𝒉(𝒚) para luego efectuar la separación de variables, es decir, debemos[pic 69]

𝒅𝒙        𝒅𝒙

encontrar la factorización, en casos como el del ejemplo la factorización, es sencilla 𝑥2(1 + 𝑦2)

Pero si tenemos algo así como esta ecuación diferencial la cosa se complica.

𝒅𝒚 = 𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑥2 − 2𝑦2 + 2𝑦 + 𝑥𝑦2 − 𝑥2𝑦 + 𝑥 − 2

𝒅𝒙

Debemos a aplicar l siguiente algoritmo para encontrar la factorización.

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒈(𝒙). 𝒉(𝒚)

1. Encontrar (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎) ≠ 𝟎

2. Calcular 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚). 𝒇(𝒙, 𝒚𝟎)

3. Comprobar si 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎). 𝒇(𝒙, 𝒚)= 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚). 𝒇(𝒙, 𝒚𝟎)

Apliquemos el algoritmo

1. Si 𝒙𝟎 = 𝟎, 𝒚𝟎 = 𝟎 reemplazamos por ceros en la ecuación

𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎) = −2 paso 1 cumplido

2. 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚). 𝒇(𝒙, 𝒚𝟎) = (−2𝑦2 + 2𝑦 − 2)(𝑥2 + 𝑥 − 2)

3. Comprobamos que 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎). 𝒇(𝒙, 𝒚)= 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚). 𝒇(𝒙, 𝒚𝟎)

−2𝒇(𝒙, 𝒚) = (−2𝑦2 + 2𝑦 − 2)(𝑥2 + 𝑥 − 2)

Factorizamos el primer término del lado derecho

−2𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝟐(𝑦2 + 𝑦 − 1)(𝑥2 + 𝑥 − 2)

El -2 a ambos lados se puede cancelar

𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝑦2 + 𝑦 − 1)(𝑥2 + 𝑥 − 2) (𝑦2 + 𝑦 − 1)(𝑥2 + 𝑥 − 2) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒

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