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Ecuaciones Diferenciales Separables


Enviado por   •  1 de Octubre de 2019  •  Examen  •  2.793 Palabras (12 Páginas)  •  148 Visitas

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Ecuaciones Diferenciales Separables

Ejercicio 1

𝑑𝑦

x[pic 2]

𝑑𝑥


= 𝑦

Realizamos transposición de términos y despejamos la ecuación de forma tal que cada variable quede con su diferencial.

𝑥𝑑𝑦  = 𝑦𝑑𝑥

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

𝑦  = 𝐶𝑥

Validamos que nuestra función si satisfaga nuestra ecuación diferencial.

𝑑𝑦

x[pic 13]

𝑑𝑥


= 𝑦

como 𝑦 = 𝐶𝑥 entonces la derivada


𝑑𝑦

[pic 14]

𝑑𝑥


= 𝐶 Reemplazamos en la ecuación diferencial xC= 𝑦 y nos

da igual que la función obtenida 𝑦 = 𝐶𝑥.

Ejercicio 2


𝑑𝑦

[pic 15]

𝑑𝑥


= 𝑦

Realizamos transposición de términos y despejamos la ecuación de forma tal que cada variable quede con su diferencial.

𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑦

= 𝑑𝑥

𝑦

Integramos a ambos lados


𝑑𝑦

𝑦


= ∫ 𝑑𝑥

Resolvemos las integrales a ambos lados

𝑙𝑛𝑦 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2

𝑙𝑛𝑦  = 𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1

Unificamos una sola constante

𝑙𝑛𝑦 = 𝑥 + 𝐶

Aplicamos la definición de logaritmo 𝑙𝑛𝑏 = 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑒𝑎

𝑦  = 𝑒𝑥+𝐶

Aplicamos exponentes de igual base y obtenemos

𝑦  = 𝑒𝑥. 𝑒𝐶

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 obtenemos la función solución de la ecuación diferencial.

𝑦  = 𝐶𝑒𝑥

Validamos que nuestra función si satisfaga nuestra ecuación diferencial.

𝑑𝑦

𝑑𝑥


= 𝑦

como 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 entonces la derivada 𝑑𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 Reemplazamos en la ecuación diferencial 𝐶𝑒𝑥 = 𝑦[pic 16]

𝑑𝑥

y nos da igual que la función obtenida 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥.

Ejercicio 3 Para resolver

Ejercicio 4


𝒅𝒚

[pic 17]

𝒅𝒙


+ 𝟒𝒙𝒚 = 𝟎

𝒅𝒚 + 𝒆𝒙−𝒚= 0[pic 18]

𝒅𝒙

Por propiedades de potenciación 𝑒𝑥 = 𝒆𝒙−𝒚[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Ecuaciones Diferenciales Separables por factorización

Ejercicio 1

(𝒚𝒙 − 𝒚)𝒅𝒚 − (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎

Factorizamos y obtenemos

𝒚(𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 − (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎

Transponemos términos para ubicar las variables con cada diferencial[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Ejercicio 2


(1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥

Factorizamos la expresión del diferencial 𝑑𝑦

(1 + 𝑥2) + 𝑦2(1 + 𝑥2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥 (1 + 𝑥2)(1 + 𝑦2)𝑑𝑦 = (1 + 𝑦2)𝑑𝑥

Transponemos términos

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56][pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

𝒅𝒙 + 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

Algoritmo para saber si una ecuación diferencial es separable aplicando factorización

𝒅𝒚

[pic 67]

𝒅𝒙


= 𝒇(𝒙, 𝒚)

Ejemplo

𝒅𝒚 = 𝑥2 + 𝑥2𝑦2[pic 68]

𝒅𝒙

Necesitamos llevar a la ecuación original a este estado

...

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