Ecuación diferencial separable

Ecuación diferencial separable
Alejandro Ortega Vega 3”C” IIN

Ecuaciones en variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.

Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos.

Una ecuación de la forma:

[pic 1]

puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor [pic 2]

[pic 3]

y al integrar obtenemos la solución

[pic 4]

Tenga presente que al dividir por el factor [pic 5] puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.

Ejemplo 
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria

[pic 6]

Dividiendo por el factor [pic 7] obtenemos

[pic 8]

Y al integrar

[pic 9]

Simplificando

[pic 10]

Observe que el factor [pic 11] es cero cuando [pic 12] y [pic 13] con [pic 14]y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando [pic 15] y [pic 16], respectivamente.

Ejemplo

 
La pendiente de una familia de curvas está dada por:

[pic 17]

Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto [pic 18].

Separando variables

[pic 19]

Integrando

[pic 20]

Simplificando

[pic 21]

Evaluando en el punto [pic 22] obtenemos que [pic 23], con lo cual el miembro de la familia buscado es

[pic 24]

La recta tangente a la curva [pic 25] en el punto [pic 26] se muestran en la figura

[pic 27]

Ejemplo

La ecuación diferencial ordinaria

[pic 28]

no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable [pic 29].

...