Trabajo De Analisis

4.- verificar que la función y=arcsen(xy), satisface a la ecuación diferencial

x.y^'+y= y'√(1-x^2 y^2 )

Solución:

Hallando la primera derivada de y=arcsen(xy):

⇒ y^'=1/√(1-x^2 y^2 ) (y+〖x.y〗^' )

y^' (x-1/√(1-x^2 y^2 ))=y/√(1-x^2 y^2 )

y^' ((√(1-x^2 y^2 )-x)/√(1-x^2 y^2 ))=y/√(1-x^2 y^2 )

〖 y〗^'=y/(√(1-x^2 y^2 )-x)

Remplazando en la ecuación diferencial el y':

⇒ x.y^'+y= y'√(1-x^2 y^2 )

x.(y/(√(1-x^2 y^2 )-x))+y=(y/(√(1-x^2 y^2 )-x)).√(1-x^2 y^2 )

(x.y+y.√(1-x^2 y^2 )-xy)/(√(1-x^2 y^2 )-x) =(y/(√(1-x^2 y^2 )-x)).√(1-x^2 y^2 )

(y.√(1-x^2 y^2 ))/(√(1-x^2 y^2 )-x) =(y.√(1-x^2 y^2 ))/(√(1-x^2 y^2 )-x)

Por lo tanto él: x.y^'+y= y'√(1-x^2 y^2 )

8.- verificar que la función x=y+ln(y), satisface a la ecuación diferencial

y.y^''+〖y'〗^3-〖y'〗^2= 0

Solución:

Dando la forma a la ecuación:

⇒x=y+ln(y)

〖 e〗^x=e^(y+ln(y))

y=e^(x-y)

Hallando la primera derivada de y=e^(x-y):

⇒ y^'=e^(x-y) (1-y')

〖 y〗^' (1+e^(x-y) )=e^(x-y)

y'=e^(x-y)/(1+e^(x-y) )

Hallando la segunda derivada de y=e^(x-y):

⇒y''=((1+e^(x-y) ) e^(x-y) (1-y^' )-e^(x-y) (e^(x-y) )(1-y'))/(1+e^(x-y) )^2

y''=(e^(x-y) (1-y^' )(1+e^(x-y)-e^(x-y) ))/(1+e^(x-y) )^2

y^''=(e^(x-y) (1-y^' ))/(1+e^(x-y) )^2 ;remplazando el y'

〖⇒y〗^''=(e^(x-y) (1-e^(x-y)/(1+e^(x-y) )))/(1+e^(x-y) )^3

〖 y〗^''=e^(x-y)/(1+e^(x-y) )^3

Remplazando en la ecuación diferencial el y' e y'':

⇒ y.y^''+〖y'〗^3-〖y'〗^2= 0

(e^(x-y))(e^(x-y)/(1+e^(x-y) )^3 )+(e^(x-y)/(1+e^(x-y) ))^3-(e^(x-y)/(1+e^(x-y) ))^2= 0

e^(2(x-y))/(1+e^(x-y) )^3 +e^(3(x-y))/(1+e^(x-y) )^3 - e^(2(x-y))/(1+e^(x-y) )^2 = 0

(e^(2(x-y))-e^(2(x-y))+e^(3(x-y))-e^(3(x-y)))/(1+e^(x-y) )^3 = 0

0=0

Por lo tanto él: y.y^''+〖y'〗^3-〖y'〗^2= 0

12.- verificar que la función x=y+ln(y), satisface a la ecuación diferencial

y.y^''+〖y'〗^3-〖y'〗^2= 0

Solución:

16.- Demostrar que la función y=(x+√(x^2+1))^k, satisface a la ecuación diferencial

(1+x^2 ).y^''+x.y^'-k^2.y= 0

Solución:

Hallando la primera derivada de y=(x+√(x^2+1))^k:

⇒ y^'=k(x+√(x^2+1))^(k-1) (1+2x/(2√(x^2+1)))

〖 y〗^'=k (x+√(x^2+1))^k/(x+√(x^2+1)) ((√(x^2+1)+x)/√(x^2+1))

〖 y〗^'=k (x+√(x^2+1))^k/√(x^2+1)

Hallando la segunda derivada de y=(x+√(x^2+1))^k:

〖⇒ y〗^''=(k^2 √(x^2+1) ((x+√(x^2+1))^(k-1) )(1+2x/(2√(x^2+1)))-k(x+√(x^2+1))^k (2x/(2√(x^2+1))))/(x^2+1)

〖 y〗^''=(k^2 √(x^2+1) ((x+√(x^2+1))^(k-1) )((x+√(x^2+1))/√(x^2+1))-k(x+√(x^2+1))^k (x/√(x^2+1)))/(x^2+1)

〖 y〗^''=(k^2 (x+√(x^2+1))^k-k(x+√(x^2+1))^k (x/√(x^2+1)))/(x^2+1)

Dando la forma de ecuación diferencial:

〖⇒ y〗^''=(k^2 (x+√(x^2+1))^k-k(x+√(x^2+1))^k (x/√(x^2+1)))/(x^2+1)

〖〖 (x^2+1)y〗^'〗^'=k^2 (x+√(x^2+1))^k-k(x+√(x^2+1))^k (x/√(x^2+1));

dando forma con: y=(x+√(x^2+1))^k:

〖⇒(x^2+1) y〗^''=k^2 (x+√(x^2+1))^k-k(x+√(x^2+1))^k (x/√(x^2+1))

〖〖 (x^2+1)y〗^'〗^'=k^2.y-(k.x.(x+√(x^2+1))^k)/√(x^2+1)

Remplazando en la ecuación diferencial:

⇒(1+x^2 ).y^''+x.y^'-k^2.y= 0

k^2.y-(k.x.(x+√(x^2+1))^k)/√(x^2+1)+x.y^'-k^2.y= 0

-(k.x.(x+√(x^2+1))^k)/√(x^2+1)+x.k (x+√(x^2+1))^k/√(x^2+1)= 0

0=0

Por lo tanto él: (1+x^2 ).y^''+x.y^'-k^2.y= 0

20.- Probar que: ; satisfaga a la ecuación diferencial:

(d^2 y)/(dx^2 )+y=a/x^2 +b/x^2

Solución:

Hallando la primera derivada de la función

⇒y^″=-∫_0^∞▒〖(a.sen(z)+bcos(z))/〖(x+z)〗^2 dz〗

Hallando la segunda derivada de la función

⇒y^″=2∫_0^∞▒〖(a.sen(z)+bcos(z))/(x+z)^4 (x+z)dz〗

=2∫_0^∞▒〖(a.sen(z)+bcos(z))/(x+z)^3 dz〗

Remplazando en la ecuación diferencial el y^″:

(d^2 y)/(dx^2 )+y=a/x^2 +b/x^2

⇒2∫_0^∞▒〖(a.sen(z)+bcos(z))/(x+z)^3 dz〗+∫_0^∞▒〖(a.sen(z)+bcos(z))/(x+z)

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