10 EJERCICIOS DE INTEGRALES DEFINIDAS

10 EJERCICIOS DE  INTEGRALES DEFINIDAS 

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 [pic 1]

La primera integral la podemos resolver con la fórmula para integrar una potencia. Notemos primero que

[pic 2]

Por lo que podemos utilizar la fórmula

[pic 3]

con el cambio de variable [pic 4] y [pic 5] (notemos que en integrales definidas no es necesaria la constante de integración). De esta manera, obtenemos,

[pic 6]

Es decir,

  [pic 7]

2 [pic 8]

Solución

Al igual que en el caso anterior, esta integral la resolvemos con la fórmula de la integral de una potencia:

[pic 9]

simplificamos un poco,

[pic 10]

Y evaluamos en los límites de la integral:

  [pic 11]

3 [pic 12]

Solución

Esta integral se resuelve con un cambio de variable. Notemos que dentro de la raíz tenemos [pic 13]. Si derivamos, tenemos [pic 14]; que al despejar [pic 15], nos da

[pic 16]

Además, como haremos cambio de variable, también debemos cambiar los límites de la integral. En particular,

  [pic 17]

Por lo tanto, la integral se conviete en

[pic 18]

Ahora resolvemos la integral utilizando la fórmula de la integral de una potencia:

  [pic 19]

4 [pic 20]

Solución

Al igual que en el caso anterior, hacemos el siguiente cambio de variable

[pic 21]

donde, al derivar, tenemos [pic 22]. Por tanto, al despejar [pic 23] (ya que es lo que tenemos dentro del integrando), obtenemos

[pic 24]

Ahora obtenemos los nuevos límites:

  [pic 25]

Por tanto, la integral se convierte en

[pic 26]

Integramos con la fórmula de la integral de una potencia:

  [pic 27]

5 [pic 28]

Solución

Esta integral se resuelve muy rápido si recordamos que

[pic 29]

Por lo que la integral se resuelve de inmediato:

  [pic 30]

Recordemos que [pic 31] y [pic 32] (recordar esos valores es útil cuando deseamos encontrar los valores de la arco-tangente).

6 [pic 33]

Solución

Para resolver esta integral necesitamos una identidad trigonométrica. En particular, como tenemos a [pic 34] elevado a una potencia par (2 en este caso), entonces necesitamos de alguna potencia que reduzca hasta alguna potencia impar. Esta la podemos obtener a partir de la identidad del ángulo doble para coseno:

[pic 35]

que, al despejar [pic 36], obtenemos

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