ANOVA DE UNA VÍA

ANÁLISIS DE VARIANZA

ANOVA DE UNA VÍA

Elaboró: Dr. Primitivo Reyes Aguilar

Septiembre de 2007

Mail: primitivo_reyes@yahoo.com

Tel. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12

CONTENIDO

1. ANOVA

2. Ejercicios

3. Teoría de experimentos de un solo factor

ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1 VIA)

El análisis de la varianza de un factor (ANOVA) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es llamado de una vía porque analiza un variable independiente o Factor ej: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como:

Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes son:

1. Ambas poblaciones son normales.

2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es,

El estadístico tiene una distribución muestral resultando:

El valor crítico para la prueba F es:

Donde el número de grados de libertad para el numerador es k-1 y para el denominador es k(n-1), siendo el nivel de significancia.

k = número de muestras.

Por ejemplo:

Ejemplo: Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a

3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Programa 3.

Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programa

el diseño se denomina DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

Se observa el aprovechamiento de los empleados en los programas:

TRATAMIENTOS

I c=1 c=2

c=3

J

Programa 1 Programa 2 Programa 3

r=1 85 80 82

r=2 72 84 80

r=3 83 81 85

r=4 80 78 90

r=5 ** 82 88

Medias 80.00 81.00 85.00 Xj

Media de medias o media total 82.14

TIPOS DE VARIACIÓN Y SUMAS DE CUADRADOS

1. Variación total entre los 14 empleados, su puntuación no fue igual con todos

VARIACIÓN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

SCT = (85-82.14)2 + (72-82.14)2+(83-82.14)2+.....+(88-82.14)2

SCT = 251.7

2. Variación entre los diferentes tratamientos o Variación entre muestras o variación entre programa 1, programa 2 y programa 3

EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2

SCTR = 65.71

3. Variación dentro de un tratamiento o muestra o programa dado que no todos los empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los mismos puntajes. Se denomina Variación dentro de los tratamientos.

VARIACIÓN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIÓN DEL ERROR

CADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO

SCE = SCT - SCTR = 186

4. GRADOS DE LIBERTAD

Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13

Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2

Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11

gl SCT = gl SCTR + gl SCE

gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c

5. CUADRADOS MEDIOS (Suma Cuadrados/ Grados libertad)

CMT = Cuadrado medio total = SCT / (n-1) = 19.4

CMTR = Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1) = 32.9

CME = Cuadrado medio del error = SCE/ gle.= 16.9

6. ESTADÍSTICO DE PRUEBA Fc Y ESTADÍSTICO F CRÍTICO DE ALFA

Fc = CMTR / CME= 1.946745562

Cálculo de F con Excel

=DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR) =DISTR.F.INV(0.05, 2, 11) = 3.982297957

NO RECHAZAR ZONA DE RECHAZO

Distr. F

Como Fc es menor a Falfa no se rechaza Ho y las medias son iguales.

7. VALOR P DE Fc

P = distr.f(Fc, gl. SCTr, gl. SCE) = distr.f(1.946, 2, 11) = 0.18898099

Como P es mayor a alfa no se rechaza Ho

CONCLUSION: NO HAY SUFICIENTE EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO, LAS MEDIAS DE LOS TRATAMIENTOS SON IGUALES

TABLA DE ANOVA

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO

CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F

Entre muestras (tratam.) SCTR c-1 CMTR CMTR/CME

Dentro de muestras (err.) SCE n-c CME

Variación total SCT n-1 CMT

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa

USO DE EXCEL:

 En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para análisis seleccione Análisis de varianza de un factor.

 En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos (todas las columnas a la vez).

 Alfa = 0.05

 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de resultados.

RESUMEN Análisis de varianza de un factor

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Programa 1 4 320 80 32.666667

Programa 2 5 405 81 5

Programa 3 5 425 85 17

ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de Promedio de

Variaciones Suma cuadrados libertad Cuadrados Fc Probabilidad F crítica

Entre grupos 65.71428571 2 32.85714286 1.9431644 0.18937731 3.98229796

Dentro de grupos 186 11 16.90909091

Total 251.7142857 13

USO DE MINITAB

 Stat > ANOVA > One Way (Unstacked)

 en Responses in separate columns Indicar las columnas de datos

 En Confidence Level 95%

 Seleccionar Comparisons Tukey 5%

 OK

One-way ANOVA: Programa 1, Programa 2, Programa 3

Source DF SS MS F P

Factor 2 65.7 32.9 1.94 0.189

Error 11 186.0 16.9

Total 13 251.7

S = 4.112 R-Sq = 26.11% R-Sq(adj) = 12.67%

Individual 95% CIs For Mean Based on

Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+-----

Programa 1 4 80.000 5.715 (------------*------------)

Programa 2 5 81.000 2.236 (----------*-----------)

Programa 3 5 85.000 4.123 (-----------*----------)

----+---------+---------+---------+-----

77.0 80.5 84.0 87.5

Pooled StDev = 4.112

NOTA: Si los Intervalos de confianza se traslapan, las medias son iguales estadísticamente

Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals

All Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 97.94%

Programa 1 subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-

Programa 2 -6.451 1.000 8.451 (------------*-----------)

Programa 3 -2.451 5.000 12.451 (-----------*------------)

--------+---------+---------+---------+-

-6.0 0.0 6.0 12.0

Programa 2 subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-

Programa 3 -3.025 4.000 11.025 (-----------*----------)

--------+---------+---------+---------+-

-6.0 0.0 6.0 12.0

NOTA: Si el cero se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia entre medias, este par de medias no son diferentes.

2. EJERCICIOS:

1. Cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en una mezcla líquida de tres componentes están siendo investigado.

Se obtienen las siguientes concentraciones:

Catalizador

A B C D

58.2 56.3 50.1 52.9

57.2 54.5 54.2 49.9

58.4 57 55.4 50

55.8 55.3 51.7

54.9

2. Para determinar si existe diferencia significativa en el nivel de Matemáticas de 4 grupos de estudiantes de Ingeniería se realizó un examen aleatorio a 6 individuos por grupo. Determine cuales son los grupos en los cuales existen diferencias a un 95% de nivel de confianza.

3. Las calificaciones en el examen a 18 empleados de tres unidades de negocio

Se muestran a continuación:

Probar si no hay diferencia entre las unidades a un 5% de nivel de significancia.

A B C

85 71 59

75 75 64

...