APLICACIÓN DE RESIDUOS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Mecatrónica

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“APLICACIÓN DE RESIDUOS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES”

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TRABAJO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA

ANÁLISIS MATEMÁTICO 4

        ESTUDIANTE(S)        :

Benites Ghinciülescou Luis Alonso

Briceño Ventura Alfred

Correa Quiroz Cecilia Kathery

Irigoin Huamán Gimber Ernani

Sotomayor Mendoza Víctor Alejandro

Ulloa Pinillos José Alberto

Vargas Quiroz James Anderson José

Valqui Romero Julio Cesar

        DOCENTE                :  

                                        Asmat Uceda Rafael Marcel

        CICLO                :

                                        2021 I

Trujillo, Perú

2021

RESIDUO Y SU USO EN LA INTEGRACIÓN

Definición:

Sea una función analítica sobre un contorno simple cerrado C y en todo punto del interior de C, salvo  . Entonces el residuo de  en, que se denota por ] está definido por:[pic 9][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

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Teorema de los residuos

Sea C un contorno cerrado simple y sea  una función analítica sobre C y en todo punto de su interior, excepto las singularidades aisladas [pic 11][pic 12]

Entonces

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que puede escribirse como:[pic 14]

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Por lo tanto, una integral de alrededor de  es igual a veces la suma de los residuos de  en el interior de  .[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

EJEMPLO 01:

Usar el Teorema de Residuo para evaluar:

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Donde C es el círculo |z| = 2 en sentido antihorario.

SOLUCIÓN

El integrando tiene dos singularidades aisladas z = 0 y z = 1 ambas en el interior de C. Hallaremos los residuos  en z = 0 y   en z = 1.[pic 22][pic 23]

        (|z|<1)[pic 24]

Primero observamos que cuando 0 < |z|<1:

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Identificando el coeficiente en el producto a la derecha, vemos que .[pic 26][pic 27]

También, como:

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[pic 29]

Cuando 0<|z-1|<1, entonces, .[pic 30]

De tal manera usando la [pic 31]

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Singularidades aisladas:

Cuando f(z) posee un punto singular aislado en z0, resulta útil conocer el coeficiente de en el desarrollo de Laurent de la función alrededor de dicho punto. En esta sección estudiaremos algunos conceptos preliminares que nos permitirán determinar este coeficiente sin necesidad de obtener el desarrollo de Laurent.[pic 33]

Parte principal:

Los términos de la serie de Laurent que contienen exclusivamente potencias negativas de  se conocen como parte principal.[pic 34]

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donde . La potencia más negativa de  que contiene la parte principal es , donde . Así, tenemos la siguiente definición:[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Polo de orden [pic 40]

Decimos que una función tiene un polo de orden N en  si la potencia más negativa de  que aparece en la parte principal de su desarrollo en serie de Laurent alrededor del punto singular  es .[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

EJEMPLO 02

La función tiene singularidades en . Los desarrollos en serie de Laurent alrededor de estos puntos son:[pic 45][pic 46]

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Y

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La primera de estas series revela que  tiene un polo de orden 1 en , y la segunda muestra que hay un polo de orden 2 en .[pic 49][pic 50][pic 51]

Además, decimos que una función tiene un polo simple en un punto si posee un polo de orden 1 en dicho punto.

Cómo determinar la naturaleza de una singularidad:

Sea f(z) una función con un polo de orden N en z=z0. Luego

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Donde .Este desarrollo es válido en una vecindad punteada de . Multiplicando ambos lados por tenemos:[pic 53][pic 54][pic 55]

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Regla I: Sea  un punto singular aislado de . Si existe el  y si dicho límite no es cero ni infinito, entonces  tiene un polo de orden  en .[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

Regla II: Si el polo de  en  es de orden , entonces:[pic 63][pic 64][pic 65]

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EJEMPLO 03:

Estudie las singularidades de

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SOLUCION:

Esta función tiene únicamente singularidades aisladas, que corresponden sólo a los puntos en que se anula el denominador. Factorizando el denominador tenemos.

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La función tiene un polo de orden 1 (polo simple) en z=1 ya que

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Ya que es finito y distinto de cero.

Hay un polo de orden 2 en z = -i, puesto que

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Análogamente, la función tiene un polo de orden 2 en z = i, así como los polos de orden 1 en -2 y -1.

Determinación del residuo:

Si sabemos que cierta función f(z) tiene un polo en , existe un método directo para calcular el residuo de la función en este punto sin necesidad de obtener un desarrollo de Laurent alrededor de . Si además sabemos de qué orden es el polo, el cálculo resulta aún más sencillo.[pic 71][pic 72]

Si  tiene un polo de orden N en , entonces[pic 75][pic 73][pic 74]

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Si , el residuo para un polo positivo simple, donde , esta dado por [pic 79][pic 77][pic 78]

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EJEMPLO 04:

Evaluar [pic 81]

Solución

Usando la el teorema de los residuos tenemos

[pic 82]

Evaluando el residuo en la función, tenemos el polo de orden , verificado por , que es finito y diferente de 0 [pic 83][pic 84]

Calculamos el residuo usando la :[pic 85]

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[pic 87]

[pic 88]

Finalmente

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Evaluación de integrales reales mediante el cálculo de residuos, I

 Las integrales definidas reales del tipo (donde R es una función racional de , de , o de ambos) son muy difíciles de evaluar utilizando los métodos del cálculo elemental. Pero el cálculo de residuos puede darnos el resultado de una manera simple y directa[pic 91][pic 92][pic 93]

Un ejemplo de este caso es la integral ; la expresión dada se transforma en una integración de contorno en el plano z por medio del siguiente cambio de variables: , [pic 94][pic 95][pic 96]

De donde

[pic 97]

[pic 98]

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Cuando  recorre el intervalo que va de 0 a, o cualquier intervalo de longitud , el punto que representa a la expresión  recorre el circulo unitario en el sentido opuesto al de las mancillas del reloj. La integral de contorno a lo largo de este círculo se evalúa por medio de la teoría de residuos.[pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

El método falla si el integrando de la integral de contorno tiene polos sobre el circulo unitario. No obstante, esto sólo puede ocurrir si la expresión resulta ser una integral impropia, es decir, si el denominador de la función racional  se anula en el intervalo [pic 104][pic 105][pic 106]

EJEMPLO 05:

Calcular

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Solución:

Hacemos las sustituciones  

[pic 108]

Tenemos

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El integrando tiene un polo de orden 2 en . Resolviendo la ecuación , vemos que hay polos simples en . El polo del punto  esta fuera del circulo , por lo que no hay necesidad de tenerlo en cuenta. [pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114]

[pic 115]

Calculamos los residuos mediante la ; para el residuo en :[pic 116][pic 117]

[pic 118]

De la misma forma, para el residuo en [pic 119]

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Finalmente

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...