APLICACIONES DEL TEOREMA DE HEROM

APLICACIONES DEL TEOREMA DE HEROM

APLICACIÓN 1

En la medición de terrenos no siempre se encuentra que, dichos terrenos tengan formas geométricas conocidas (cuadrados, rectángulo, triangulo,…etc.) en muchos casos se da que, este posea alguna forma irregular o poco conocida, como el de la fig. 1. Se desea hallar el área de dicho terreno para su posterior venta, siendo el costo de 50 dólares por metro cuadrado. Donde las   medidas de dicho terreno son  , , , para  que forman [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Solución

Trazamos una línea   como se muestra en la fig.2 y hallamos la longitud de dicha línea empleando el teorema de Pitágoras[pic 8]

[pic 9][pic 10]

Ahora aplicamos el teorema de HEROM para hallar el área A1 y el área A2 respectivamente

Para el área A1

[pic 11]

 [pic 12][pic 13]

Reemplazando valores

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Para el área A2

[pic 18]

[pic 19]

Reemplazando valores

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Sumando las áreas A1 y A2    entonces [pic 24][pic 25]

Entonces dicho terreno posee un área total de 2486.91 m2 la cual podrá ser vendido por un valor de ,  es el precio del terreno a vender.[pic 26][pic 27]

APLICACIÓN 2

Se desea cercar un terreno como se muestra en la fig. 3. El terreno tiene un área total de 1185.56m2, se sabe que el área correspondiente a la forma rectangular es de 830m2 ¿Cuántos metros de cerco metálico aproximadamente se tendrá que comprar para dicho terreno sabiendo que existe un muro perimetral en el área rectangular (longitud de muro perimetral L=20m)?

[pic 28]

Solución

Dividamos el área del terreno en tres áreas A1, A2 y A3 donde A2=A3 por simetría del terreno, ver Fig.4 y hallemos la longitud faltante del rectángulo formado.

[pic 29]

Para el rectángulo el A1 es   entonces   luego [pic 30][pic 31][pic 32]

Ahora hallaremos el A2 de la siguiente manera  entonces [pic 33][pic 34]

Como ya tenemos el área A2 aplicaremos el teorema de HEROM para hallar la longitud “b”, entonces:

[pic 35]

Reemplazando valores

[pic 36]

[pic 37]

Para el área. [pic 38][pic 39]

Reemplazando valores y resolviendo

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Para hallar b no queda mas que aproximar la ecuación dándole valores a “b”, según el teorema de la existencia de un triángulo “b”  debe estar entre  en este caso se determinó que “b” esta entre  metros. Entonces tenemos que la cantidad aproximada de cerco a comprar es  si b=30 entonces [pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

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