Teorema APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Las aplicaciones de las transformaciones lineales que se interpretan son matrices de 2x2. Los elementos de la matriz dependen de los ejes del plano. Siendo los ejes x, y, z, la matriz seria de 3x3.

TEMA 1: REFLEXIONES EN EL PLANO

Las transformaciones definidas por las siguientes matrices se denominan reflexiones. Las reflexiones tienen el efecto de mapear un punto del plano xy a su imagen “espectacular” con respecto a uno de los ejes de coordenadas o a la recta definida por y=x.

[pic 1]

TEMA 2: EXPANSIONES Y CONTRACCIONES EN EL PLNANO

Las transformaciones y expansiones definidas por las siguientes matrices se denominan expansiones o contracciones, según el valor del escalar positivo k.

La distancia que se desplaza el punto (x,y) debido a una contracción o una es proporcional a su coordenada x o y.

[pic 2]

El tercer tipo de transacción lineal en el plano que corresponde a una matriz elemental se llama deslizamiento.

TEMA 3: DEFORMACIONES EN EL PLANO 

Ya sea que los puntos del semiplano se “deforman” a la derecha una cantidad proporcional a su coordenada y. Los puntos en el semiplano inferior se “deforman” a la izquierda una cantidad proporcional al valor absoluto de su coordenada y. Bajo esta transformación, los puntos sobre el eje x permanecen en su sitio.

También los puntos del semiplano derecho se pueden “deformar” hacia arriba una cantidad proporcional a su coordenada x. Los puntos del semiplano izquierdo se “deforman” hacia abajo una cantidad proporcional al valor absoluto de su coordenada x. Los puntos sobre el eje y permanecen inmóviles.

[pic 3]

TEMA 4: ROTACION ALREDEDOR DE EJE Z

Las rotaciones que se hacen a través de la computadora  son de acuerdo a los ángulos dados según el plano. Para efectuar la rotación de eje z se multiplican el Angulo por los vértices y los resultados son los vértices rotados.

En este caso se utiliza una caja teniendo esta 8 vértices:

Los ocho vértices de una caja rectangular tienen aristas que miden 1,2 y 3 unidades.

V1= (0, 0, 0),   V2= (1, 0, 0),    V3= (1, 2, 0),     V4= (0, 2, 0), 

V5= (0, 0, 3),   V6= (1, 0, 3),    V7= (1, 2, 3),     V8= (0, 2, 3).

La matriz que produce una rotación de 60ª es:

[pic 4][pic 5]

              Cos 60ª – sen 60ª   0                   ½     - √3/4    0[pic 6]

   A=       Sen 60ª    cos60ª   0                 √3/2      ½       0[pic 7]

                   0               0        1                     0        0       1

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