Aplicación De Las Transformaciones Lineales

APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejemplos

1. El mapeo que envía en (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a como un -espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como -espacio vectorial, ya que .

2. Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad , que resulta una transformación lineal.

3. Las homotecias: con . Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan contracciones.

4. Dada una matriz , la función definida como es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.

5. Sea V el conjunto de funciones continuas en ℝ y se define Φ: V → V mediante

Φ(f)(t) =

Ocurre que:

= +

y

= c para c ∈ ℝ

Por lo tanto, se cumplen Φ(f +g) = Φ(f) + Φ(g) y Φ(cf)= cΦ(f) para todo f y g en V y todo c en ℝ, o sea que Φ es una aplicación lineal de V en V. 1

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:

Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

1. dado que (para probar esto, observar que ).

2. Dados

3. Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Cómo formar nuevas transformaciones lineales a partir de otras dadas

Si f1: V → W y f2: V → W son lineales, entonces también lo es su suma f1 + f2 (definida como (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)).

Si f : V → W es lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función af, definida como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.

Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todo al elemento nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de transformaciones lineales f: V → W forma un subespacio de las funciones de V en W. A este subespacio se lo nota L(V,W) o Hom(V,W). La dimensión de L(V,W) es igual al producto de las dimensiones de V y W.

Si f: V → W y g: W → Z son lineales entonces su composición g∘f: V → Z también lo es.

Dado

...