APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES EN LA INGENIERIA

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES

LINEALES EN LA INGENIERIA

RESUMEN

Como bien lo conocemos, el Álgebra Lineal es una de las ramas de las Matemáticas la cual se enfoca en el estudio de los vectores, sistemas de ecuaciones lineales, las matrices y los espacios vectoriales con sus transformaciones lineales. 

es importante para comprender el significado de conceptos que se presentan abstractos, tales como espacio vectorial, subespacio, bases, transformaciones lineales entre otros.

PALABRAS CLAVE

• Transformación lineal
• Eje X
• Eje y

INTRODUCCIÓN

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realiza sobre un vector para convertirlo en otro vector. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales se producen con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen una gran aplicación en la ingeniería y las diversas ramas de la matemática.

PROPIEDADES

Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que:

Si T : V → W es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im)  de T de la siguiente manera:

Ker (T) =    u € V: T (u) = 0w  [pic 1][pic 2]

Im (T) =    w € W: 3u € V: T (u) = w[pic 3][pic 4]

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del condominio.

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del condominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del condominio.
• El rango de una transformación lineal es de la dimensión de la imagen.

Ran (T) = dim (Im (T) ).

Considérese un sistema coordenado sobre un plano. Un objeto Γ en el plano puede considerarse como un conjunto de puntos. Cada punto P tiene coordenadas (x,y), de manera que el objeto es la suma total de todos sus puntos coordenados. Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerarse como un nuevo objeto Γ′, cuyos puntos coordenados P′ pueden obtenerse a partir de los puntos originales P mediante la aplicación de una transformación geométrica.

Proposición 1

Sea T:R2→R2 una trasformación lineal con representación matricial AT, entonces si AT es invertible, T se puede escribir como una sucesión de una o más trasformaciones especiales llamadas expansiones, compresiones, reflexiones, cortes y rotaciones.

Expansión sobre el eje X

Una expansión a lo largo del eje X es una transformación lineal T:R2→R2 que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante |c|>1 y se representa como:

             T=   X   =    CX[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

                     Y         Y

Si aplicamos la transformación para expandir sobre el eje X en la base canónica de R2, tenemos que

         T     1    =    C[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

                  0           0

por lo que la matriz de transformación para realizar una expansión en el eje X es

...