Algebra Lineal

Ecuaciones de planos paralelos

Así como una recta está determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.

Plano

Sea P un punto en el espacio y sea n un vector dado diferente de cero. Entonces el conjunto de todos los puntos Q para los que * n = 0 constituye un plano en R3.

Notación. Por lo general, un plano se denota por el símbolo π.

Sea P = (x0, y0, z0) un punto fijo sobre un plano con vector normal n = ai + bj + ck. Si Q =

(x, y, z) es otro punto en el plano, entonces =(x - x0)i + (y - y0)j + (z - z0)k.

Como Tn, tenemos que *n=0, pero esto implica que

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

El vector n es ortogonal a todos los vectores en el plano.

Una manera más común de escribir la ecuación de un plano se deriva de la anterior.

Ecuación cartesiana de un plano

ax + by + cz = d

donde d = ax0 + by0 + cz0 = *n.

Planos paralelos

Dos planos son paralelos† si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto

cruz de sus vectores normales es cero.

En la figura se encuentran dos planos paralelos.

-Ejemplo

Dos planos paralelos

Los planos π1: 2x + 3y - z = 3 y π2: 24x - 6y + 2z = 8 son paralelos ya que n1 = 2i + 3j - k,

n2 = -4i - 6j + 2k = -2n1 (y n1 * n2 = 0).

Si dos planos no son paralelos, entonces se intersecan en una línea recta.

Observe que dos planos paralelos pueden ser coincidentes. Por ejemplo, los planos x + y + z = 1 y 2x + 2y + 2z =2 son coincidentes (son el mismo).

-Ejemplo

Hallar la ecuación de un plano paralelo a x-y+3z=6, a distancia 8

PLANOS PARALELOS:

Dados dos planos π y π' cuyas ecuaciones son

π : A•x + B•y + C•z + D = 0

π' : A'•x + B'•y + C'•z + D' = 0

son paralelos si son proporcionales los coeficientes de sus variables, es decir, si se cumple que

A/A' = B/B' = C/C'

Así que dado tu plano

π : x - y + 3z - 6 = 0

un plano paralelo a él será cualquiera del tipo

π' : x - y + 3z + D' = 0

Así que únicamente hay que calcular D' con la condición que te dan de que la distancia entre los planos es 8.

DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS:

La distancia entre dos planos paralelos viene dada por la ecuación

dist(π,π') = |D - D'| / √(A² + B² + C²)

en el caso de nuestros planos paralelos

dist(π,π') = |- 6 - D'| / √(1² + (-1)² + 3²)

dist(π,π') = |- 6 - D'| / √11

SOLUCION:

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